初中数学圆锥的体积知识点归纳

时间：2022-03-31 08:48:34 初中数学我要投稿

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初中数学圆锥的体积知识点归纳

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初中数学圆锥的体积知识点归纳

　　圆锥的体积

　　一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3

　　根据圆柱体积公式V=Sh(V=πrh)，得出圆锥体积公式：V=1/3Sh

　　S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径。

　　证明：

　　把圆锥沿高分成k分每份高 h/k, (“/” 为“÷”)

　　第 n份半径：n×r÷k (以下“×”改为“ * ”)

　　第 n份底面积：pi×nx2×rx2÷kx2

　　(“x”为…的…次方)

　　第 n份体积：pi×h×nx2×rx2÷kx3

　　总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi×h×(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)×rx2/kx3

　　1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2=k×(k+1)×(2k+1)÷6

　　∴

　　总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)*rx2/kx3

　　=pi*h*rx2* k*(k+1)*(2k+1)/6kx3

　　=pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6

　　∵ 当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0

　　∴ pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*rx2/3

　　∵ V圆柱=pi*h*rx2

　　∴ V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3

　　知识要领总结：一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积。

　　【拓展】

　　一.圆柱

　　1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的;圆柱也可以由长方形卷曲而得到。

　　2、圆柱各部分的名称：圆柱的的两个圆面叫做底面(又分上底和下底);周围的面叫做侧面;两个底面之间的距离叫做高(高有无数条他们的数值是相等的)。

　　3、圆柱的侧面展开图：

　　a 沿着高展开,展开图形是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高，当底面周长和高相等时(h=2πR)，侧面沿高展开后是一个正方形，展开图形为正方形。

　　b. 不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形。

　　C.无论如何展开都得不到梯形.

　　侧面积=底面周长×高 S侧=Ch=πd×h =2πr×h

　　4、圆柱的表面积：圆柱表面的面积，叫做这个圆柱的表面积。

　　圆柱的表面积=2×底面积+侧面积，即S表=S侧+S底×2 = 2πr×h + 2×πr2

　　(实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，都要用进一法)

　　圆柱的体积：圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积。

　　圆柱切拼成近似的长方体，分的份数越多，拼成的图形越接近长方体。长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。

　　长方体的体积=底面积×高

　　圆柱体积=底面积×高

　　V柱=S h =πr2 h

　　h =V柱÷S=V柱÷(πr2)

　　S=V柱÷h

　　5、.圆柱的切割：

　　a.横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S增=2πr2

　　b.竖切(过直径)：切面是长方形(如果h=2R，切面为正方形)，该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh

　　考试常见题型：

　　a 已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长

　　b已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积

　　c已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积

　　d已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积

　　e已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积

　　以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算。

　　常见的圆柱解决问题：

　　①、压路机压过路面面积、烟囱、教学楼里的支撑柱、通风管、出水管(求侧面积);

　　②、压路机压过路面长度(求底面周长);

　　②、水桶铁皮(求侧面积和一个底面积);

　　④鱼缸、厨师帽(求侧面积和一个底面积);

　　V钢管=(πR2﹣πr2)×h

　　二、圆锥

　　1、圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。圆锥也可以由扇形卷曲而得到。

　　2、圆锥各部分的名称：

　　圆锥只有一个底面，底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面，把圆锥的侧面展开得到一个扇形。

　　从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。(测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。)

　　3、圆锥的体积：

　　圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一

　　V锥= ×底面积×高= S h= πr2 h

　　圆锥的高=圆锥体积×3÷底面积 h =3 V锥÷S = 3 V锥÷(πr2)

　　圆锥的底面积=圆锥体积×3÷高 S= 3 V锥÷h

　　4.圆锥的切割：

　　a.横切：切面是圆

　　b.竖切(过顶点和直径)：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，表面积增加两个等腰三角形的面积，即S增=2Rh

　　考试常见题型：

　　a 已知圆锥的底面积和高，求体积

　　b已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积

　　c已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积

　　以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算。

　　三、圆柱和圆锥的关系

　　1.圆柱的特征：一个侧面、两个底面、无数条高且侧面沿高展开图是长形。

　　2.圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高且侧面展开图是扇形。

　　圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。

　　圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱高的3倍。

　　圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意：是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。

　　圆柱体积比等底等高圆锥体积多2倍。

　　圆锥体积比等底等高圆柱体积少。

　　(1)等底等高：V锥:V柱=1:3

　　(2)等底等体积：h锥:h柱=3:1

　　(3)等高等体积：S锥:S柱=3:1

　　题型总结：

　　高不变半径扩大缩小n倍，直径、底面周长、侧面积扩大缩小n倍，底面积、体积扩大缩小n2倍。

　　半径不变高扩大缩小n倍，侧面积、体积扩大缩小n倍

　　削成最大体积的问题：

　　正方体里削出最大的圆柱圆锥：圆柱圆锥的高和底面直径等于正方体棱长

　　长方体里削出最大的圆柱圆锥：圆柱圆锥底面直径等于宽(宽﹥高)圆柱圆锥高等于长方体高

　　浸水体积问题：水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升的高度。

　　等体积转换问题：一圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的问题，注意不要乘以1/3 。

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