高中函数解题技巧

时间：2022-03-20 04:57:48 高中我要投稿

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高中函数解题技巧

　　在高中生在做关于函数的题目时，需要进行解题，那么都有哪些相关的解题技巧呢？下面是小编分享给大家的高中函数解题技巧，希望对大家有帮助。

　　一。观察法

　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

　　例1求函数y=3+√（2—3x）的值域。

　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√（2—3x）的值域。

　　解：由算术平方根的性质，知√（2—3x）≥0，

　　故3+√（2—3x）≥3。

　　∴函数的知域为。

　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

　　练习：求函数y=[x]（0≤x≤5）的值域。（答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝）

　　二。反函数法

　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

　　例2求函数y=（x+1）/（x+2）的值域。

　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

　　解：显然函数y=（x+1）/（x+2）的反函数为：x=（1—2y）/（y—1），其定义域为y≠1的实数，故函数y的值域为{y？y≠1，y∈R｝。

　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

　　练习：求函数y=（10x+10—x）/（10x—10—x）的值域。（答案：函数的值域为{y？y<—1或y>1｝）

　　三。配方法

　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域

　　例3：求函数y=√（—x2+x+2）的值域。

　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

　　解：由—x2+x+2≥0，可知函数的定义域为x∈[—1，2]。此时—x2+x+2=—（x—1/2）2+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√—x2+x+2≤3/2，函数的值域是[0，3/2]

　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

　　练习：求函数y=2x—5+√15—4x的值域。（答案：值域为{y？y≤3}）

　　四。判别式法

　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。

　　例4求函数y=（2x2—2x+3）/（x2—x+1）的值域。

　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

　　解：将上式化为（y—2）x2—（y—2）x+（y—3）=0 （*）

　　当y≠2时，由Δ=（y—2）2—4（y—2）x+（y—3）≥0，解得：2

　　当y=2时，方程（*）无解。∴函数的值域为2

　　点评：把函数关系化为二次方程F（x，y）=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=（ax2+bx+c）/（dx2+ex+f）及y=ax+b±√（cx2+dx+e）的函数。

　　练习：求函数y=1/（2x2—3x+1）的值域。（答案：值域为y≤—8或y>0）。

　　五。最值法

　　对于闭区间[a，b]上的连续函数y=f（x），可求出y=f（x）在区间[a，b]内的极值，并与边界值f（a）。f（b）作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域。

　　例5已知（2x2—x—3）/（3x2+x+1）≤0，且满足x+y=1，求函数z=xy+3x的值域。

　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2—x—3≤0同解，解之得—1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1—x代入z=xy+3x中，得z=—x2+4x（—1≤x≤3/2），

　　∴z=—（x—2）2+4且x∈[—1，3/2]，函数z在区间[—1，3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

　　当x=—1时，z=—5;当x=3/2时，z=15/4。

　　∴函数z的值域为{z？—5≤z≤15/4｝。

　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

　　练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x—5的值域为（）

　　A。（—∞，+∞） B。[—7，+∞] C。[0，+∞） D。[—5，+∞）

　　（答案：D）。

　　六。图象法

　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

　　例6求函数y=？x+1？+√（x—2）2 的值域。

　　点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

　　解：原函数化为 —2x+1 （x≤1）

　　y= 3 （—1

　　2x—1（x>2）

　　它的图象如图所示。

　　显然函数值y≥3，所以，函数值域[3，+∞]。

　　点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

　　求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

　　求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

　　七。单调法

　　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

　　例1求函数y=4x—√1—3x（x≤1/3）的值域。

　　点拨：由已知的函数是复合函数，即g（x）= —√1—3x，y=f（x）+g（x），其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

　　解：设f（x）=4x，g（x）= —√1—3x ，（x≤1/3），易知它们在定义域内为增函数，从而y=f（x）+g（x）= 4x—√1—3x

　　在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f（1/3）+g（1/3）=4/3，因此，所求的函数值域为{yy≤4/3｝。

　　点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

　　练习：求函数y=3+√4—x 的值域。（答案：{yy≥3｝）

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