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高中数学易混淆知识点

时间:2022-03-20 08:22:02 高中数学 我要投稿
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高中数学易混淆知识点

  易混概念辨析 切线和切线的长

高中数学易混淆知识点

  “切线”和“切线的长”

  请研究下面的问题:

  已知:⊙O的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过P作⊙O的切线并求切线的长。

  在这个问题中出现了“切线”和“切线的长”这两个名词,它们有什么区别?

  和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线。如上面问题中过P点所作⊙O的切线PT,它和⊙O只有一个公共点T.

  在切线上,某一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线的长。如上面问题中,P是切线PT上的一点,T是切点,线段PT的长就叫做P点到⊙O的切线的长。

  由此可见,“切线”和“切线的长”这两个概念是有联系的。没有切线,就谈不上切线的长。但是,它们又是有区别的。切线是直线,不可以度量,谈不上具体的长度;切线的长则是切线上一条线段的长,即圆外一已知点到切点之间的距离,是可以度量的。切线是一条直线,它是一个图形;切线的长是一个数量。不能把图形和数量混为一谈。

  了解了“切线”和“切线的长”的区别,我们回过头来分析上面的问题,所谓“过P点作圆O的切线”,是一个作图题,要求作出过P点和圆O相切的直线。而“求切线的长’则是一个计算题,要求算出线段PT的长度,两者的区别是很明显的,至于它们具体的作法和解法,就留给同学们自己去完成了。

  易混概念辨析 共点线和共线点

  “共点线”和“共线点”

  步枪射击时,战士要把自己的眼睛通过枪管前面的“准心”,瞄准敌方的目标。也就是说,从几何上看,就是要使眼睛、准心、目标三点共线,这样才能击中目标。

  像这样位于同一条直线上的若干个点,叫做共线点。下面我们来证明一个“三点共线的问题”。

  例:自三角形外接圆上任一点,分别作三角形三边或其延长线的垂线,试证三垂足共线。

  已知:图中,⊙O是△ABC的外接圆,P是⊙O上的一点,PD、PE、PF分别垂直于直线AB、BC、AC,D、E、F是垂足。求证:D、E、F三点共线。

  证明:连结BP、PC、DE、EF

  ∵∠BDP=∠PEB=90°,

  ∴B、D、E、P四点共圆。

  ∴∠BED=∠BPD ①

  又∵∠PFC=∠PEC=90°,

  ∴C、E、P、F四点共圆,

  ∴∠CPF=∠CEF ②

  又∵A、B、P、C四点共圆,

  ∴∠PCF=∠ABP ③

  在Rt△BPD及Rt△CPF中,

  由②,得∠CPF=∠CEF=∠BED

  即∠CEF与∠DEB为对顶角。

  ∵BEC是一条直线,

  ∴DEF也是一条直线,即D、E、F三点共线。

  在解析几何里,要证明A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点共线,常用下面的方法:

  (1)用斜率公式,验证直线AB的斜率等于直线BC的斜率;

  (2)用两点距离公式,验证线段AB、BC、CA中某两条线段的和,等于第三条线段的长;

  (3)写出直线AB的方程,证明C点坐标满足方程,即C点在直线AB上。

  在数学里,证明共点线的方法很多。若是用解析几何的方法,证明三条直线l1、l2、l3共点,可用下面这些方法:

  (1)验证直线l1和l2的交点,也在直线l3上。

  (2)证明直线l1、l2的交点与直线l2、l3的交点是同一个点。

  共线点和共点线都是说直线和点的位置关系,前者是说若干个点都在一条直线上,后者是说若干条直线都通过某一个点,两者字形相仿,但意思不同。

  与共线点、共点线类似的,还有共圆点、共点圆这两个不同的概念。同在一个圆上的点叫共圆点。比如对角互补的四边形,它的四个顶点共圆。若干个圆相交于同一个点,叫做共点圆。共点圆在探测地震震中时要用到。根据数据查出震中离地震台的距离,即震中在以地震台为圆心,该距离为半径的圆上。从三个不同地震台探测所得到三个圆的交点,就是所求的震中,这实际上就是几何中常用的轨迹交截法。

  易混概念辨析 等弧和等长的弧

  “等弧”和“等长的弧”

  什么叫“等弧”?能够互相重合的弧叫做等弧

  两条弧既然能够重合,那么它们所在圆的半径必然是相等的。也就是说,这两条弧所在的圆就一定是同圆,或者是等圆。如果两弧半径不等,它们是不能重合的。

  等长的弧说的是不同的弧,它们的长度相等。我们分三种情况来讨论。

  (1)在图1中,是同圆o中的两条等弧,它们能够重合,所以长度相等,即它们是等长的弧。

  (2)在图2中,是等圆⊙O1和⊙O2中的两条等弧,它们能够重合,所以长度相等,即它们是等长的弧。

  (3)在图3中,设⊙O1的半径为1,圆心角∠AO1B=60°,则

  ⊙O2的半径为2,圆心角∠CO2D=30°,则

  所这说明是等长的弧,但因为它们的半径不等,不能重合,所以它们不是等弧。

  由此可见,“等长的弧”可以是同圆中不同的弧,可以是等圆中不同的弧,还可以是不同圆中不同的弧。“等弧”只能是同圆或等圆中的弧。“等弧”一定是“等长的弧”,但“等长的弧”就未必是“等弧”。

  易混概念辨析 同圆、等圆和同心圆

  “同圆”、“等圆”和“同心圆”

  请研究下面的问题:

  “在同一圆中,已知弦AB=12cm,弦CD=8cm,这两条弦的弦心距哪一个长?”

  根据定理“在同圆中,有两条不相等的弦,大弦的弦心距较小”可知,弦CD的弦心距比弦AB的弦心距要大。注意,这个题目的前提是“同圆”,如果不是同一个圆,那么结论就未必成立。例如,图2中⊙O2的半径大于⊙O1的半径,它们既不是同圆,又不是等圆。⊙O2的弦AB大于⊙O1的弦CD,但是弦AB的弦心距却大于弦CD的弦心距。

  再请研究下面的问题:

  “在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等。”这实际上是两个问题:

  (1)在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等(图3)。

  (2)在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等(图4)。

  前一个问题,定理指的是在同一个圆O中(图3),若∠AOB=∠COD,则

  后一个问题,指的是在不同的两个圆(⊙O1、⊙O2)中,如果它们是等圆(即两圆半径相等),且∠AO1B=∠CO2D ,则

  这个定理用叠合法不难得证。

  由此可见,“同圆”指的是同一个圆,“等圆”则指的是半径相等的不同的圆,两者是不同的。但在研究时,两者常同时出现,即在“同圆或等圆中”研究某个性质。

  最后,请研究下面的问题:

  “求证:同心圆中,与小圆相切的大圆的弦相等。”

  这里,“同心圆”指的是半径不等但圆心相同的圆。在图5中,AB、CD是大圆的两条弦,它们分别与小圆相切于E、F点。由于OE、OF是小圆的半径,

  ∴OE=OF

  ∴AB=CD(在大圆中,弦心距相等,则弦相等)。

  所以,“同圆”指的是同一个圆,“等圆”指的是不同的圆,它们的位置不同,但半径相等;“同心圆”指的是不同的圆,它们的半径不等,但圆心相同。

  易混概念辨析 圆和圆面

  “圆”和“圆面”

  在我们的生活中,圆是一种最常见的图形。碗、盘、碟,月饼,车轮,水的波纹等等,都给我们以圆的形象。圆又被用来作为幸福、美好的象征。如人们常说“花好月圆”,“圆满”,“团圆”,就是这个意思。

  什么是圆?在初中平面几何中,对圆是这样定义的:线段(AB)绕着一个端点(A)旋转一周,另一个端点(B)画出的图形叫做

  点运动成线。从圆的定义可以知道,圆是一个动点(B)和一个定点(A)距离等于定长(AB的长)的点的轨迹,它是一条线。我们还可以把圆说成是“到一个定点距离等于定长点的集合”。

  在高中解析几何中,我们再次学习了圆。设圆的圆心为坐标原点,半径为r,圆上动点为P(x,y),则根据两点间的距离公式可得圆的方程:

  即 x2+y2=r2

  若圆心不在原点,而它的坐标为(a,b),圆的半径为r,动点为P(x,y),则此圆的方程为

  即 (x-a)2+(y-b)2=r2

  这就是圆的一般方程。

  我国战国时期有一位科学家叫墨翟(约前468-前376),后人根据他的思想和言论写成一部叫《墨经》的书。在这部书里,提出19条有关几何的内容,其中有一条就是圆的定义。当时是这样定义的:“圜,一中同长也。”这里的“圜”读作“huán”,就是我们今天所讲的圆或球面。“中”就是“定点”。“一中同长”,用我们今天的话来说,就是“到一个点距离相同的点的集合”。可见,2400年前,我们的老祖宗给圆的定义和今天教材里所讲的定义是完全一样的。

  在实际生活中,“圆”指的是部分平面。如满月,指的不仅是月亮周围的曲线,而且包括曲线内部的曲线。月饼,也不仅表示月饼的周界,还包括周界所围成的部分平面。为了与圆区别起见,我们把由圆围成的部分平面称为圆面。所以,圆面可以理解为:

  (1)线段AB绕着A点旋转一周,所得的部分平面;

  (2)到定点(A)距离等于或小于定长点的集合。

  在解析几何里,可以用下列方程或不等式表示圆面:

  x2+y2≤r2(圆心在原点)(x-a)2+(y-b)2≤r2(圆心在(a,b))

  与“圆”和“圆面”这对概念类似,在立体几何中还有“球面”和“球”这对概念。不过要注意的是,这里的“球面”相当于“圆”,它是空间到定点距离为定长点的集合。球面是一个曲面,它的内部是空的,例如篮球就给我们以球面的形象。在空间解析几何中,球面的一般方程为

  x2+y2+z2=r2(球心在原点)(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2(球心在(a,b,c)点)

  这里“球”相当于“圆面”,它是空间到定点距离等于或小于定长点的集合。球是一个实体,例如铅球、地球就给我们以球的形象。在空间解析几何中,球的方程和不等式为:

  x2+y2+z2≤r2(球心在原点)(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2≤r2(球心在(a,b,c)点)

  易混概念辨析 五心和中心

  “五心”和“中心”

  平面几何的作图,归根到底是画直线和弧。先求出某些特殊的交点,然后画出所求的图形。所以,找“特殊点”在几何作图里是非常重要的。

  在三角形中,有五个“特殊点”,它们是:

  (1)三角形三边中线交于一点,这一点叫做三角形的重心。图1中,AM1、BM2、CM3是△ABC的三条中线,M是它们的交点,M就是三角形的重心。设△ABC是一块均匀的薄板,如果我们将三角板水平放置,用一根针尖支撑在重心的地方,三角板能处于水平状态而不倒下。

  (2)三角形三边的高交于一点,这一点叫做三角形的垂心。图2中,AH1、BH2、CH3是△ABC的三条高,H是它们的交点,H就叫做三角形的垂心。

  (3)三角形三个角的平分线交于一点,这一点叫做三角形的内心。图3中,AT1、BT2、CT3是△ABC的三条角平分线,T是它们的交点,T就是三角形的内心。T点到三角形三边的距离相等,所以,以T为圆心,T到任何一边的距离为半径所画的圆,与△ABC三边相切。这个圆就叫做三角形的内切圆,“内心”由此得名。

  (4)三角形三边垂直平分线交于一点,这点叫做三角形的外心。图4中,OM1、OM2、OM3分别是△ABC三边AB、BC、AC的垂直平分线,它们相交于点O,O就是△ABC的外心。以O为圆心,OA为半径画圆,这就是△ABC的外接圆,“外心”由此得名。

  (5)三角形一个角的平分线与其他两个外角的平分线交于一点,这点叫做三角形的旁心。一个三角形有三个旁心。在图5中,BS2是∠B的平分线,AS1、CS3是△ABC两个外角的平分线,BS2、AS1、CS3交于S点,S点叫做三角形的一个旁心。“旁心”的意思是三角形旁切圆的圆心,以S为圆心,S到∠B两边的距离为半径所画的圆叫做△ABC的旁切圆

  三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心合称为三角形的五心

  正多边形与圆有密切的关系,因为画正多边形的实质就是等分圆周的问题。我们把过正多边形各顶点的圆叫做正多边形的外接圆。如图6中,⊙O就是正多边形ABCDEFGH的外接圆。与正多边形各边相切的圆叫做正多边形的内切圆。图6中,⊙O是正多边形A′B′C′D′E′F′G′H′的内切圆。正多边形的外接圆与内切圆的圆心叫做正多边形的中心

  五心,是三角形的五心;中心,在直线形中,只有正多边形才有中心。不要把三角形的五心和正多边形的中心混淆起来。

  还要补充一下,“中心”这个概念在“相似中心”、“对称中心”里也用到,不过这里与正多边形中心的意义又不同了。

  有趣的是,正三角形的重心、垂心、内心和外心和中心是同一个点。

  请同学们回答:

  (1)要从三角形铁片上剪下一个尽可能大的圆铁片来,应该怎么剪法?

  (2)要把三角形的铁片平放入一个圆柱形桶中,这个铁桶底面直径至少要多大?如果这个铁桶正中有一根轴,应该在三角形铁片的什么地方钻一个孔,才能恰好套在轴上?

  (3)要把一块三角形铁片剪成面积相等的三个三角形铁片,应该怎样剪法?

  (4)三个村庄决定共修建一个小型发电厂,电厂建在什么地方,所用的输电线最短?

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