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高中必修一数学知识点总结

时间:2022-04-25 08:26:58 高中数学 我要投稿
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高中必修一数学知识点总结

  在日常的学习中,大家对知识点应该都不陌生吧?知识点有时候特指教科书上或考试的知识。为了帮助大家掌握重要知识点,下面是小编收集整理的高中必修一数学知识点总结,仅供参考,希望能够帮助到大家。

高中必修一数学知识点总结

  高中必修一数学知识点总结1

  一:集合的含义与表示

  1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

  把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。

  2、集合的中元素的三个特性:

  (1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。

  (2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。

  (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合

  3、集合的表示:{…}

  (1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

  (2)集合的表示方法:列举法与描述法。

  a、列举法:将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}

  b、描述法:

  ①区间法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。

  {xR|x-3>2},{x|x-3>2}

  ②语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  ③Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。

  4、集合的分类:

  (1)有限集:含有有限个元素的集合

  (2)无限集:含有无限个元素的集合

  (3)空集:不含任何元素的集合

  5、元素与集合的关系:

  (1)元素在集合里,则元素属于集合,即:aA

  (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a¢A

  注意:常用数集及其记法:

  非负整数集(即自然数集)记作:N

  正整数集N*或N+

  整数集Z

  有理数集Q

  实数集R

  6、集合间的基本关系

  (1).“包含”关系(1)―子集

  定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。

  二、函数的概念

  函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A---B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.

  (1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;

  (2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的'值域.

  函数的三要素:定义域、值域、对应法则

  函数的表示方法:(1)解析法:明确函数的定义域

  (2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

  (3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特征。

  4、函数图象知识归纳

  (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.

  (2)画法

  A、描点法:B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换,即平移。

  (3)函数图像平移变换的特点:

  1)加左减右――只对x

  2)上减下加――只对y

  3)函数y=f(x)关于X轴对称得函数y=-f(x)

  4)函数y=f(x)关于Y轴对称得函数y=f(-x)

  5)函数y=f(x)关于原点对称得函数y=-f(-x)

  6)函数y=f(x)将x轴下面图像翻到x轴上面去,x轴上面图像不动得

  函数y=|f(x)|

  7)函数y=f(x)先作x≥0的图像,然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)

  三、函数的基本性质

  1、函数解析式子的求法

  (1、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

  (2、求函数的解析式的主要方法有:

  1)代入法:

  2)待定系数法:

  3)换元法:

  4)拼凑法:

  2.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

  求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

  (1)分式的分母不等于零;

  (2)偶次方根的被开方数不小于零;

  (3)对数式的真数必须大于零;

  (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

  (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

  (6)指数为零底不可以等于零,

  (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

  3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)

  4、区间的概念:

  (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间

  (2)无穷区间

  (3)区间的数轴表示

  5、值域(先考虑其定义域)

  (1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;

  (2)反表示法:针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式,由X的范围类似求Y的范围。

  (3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,注意定义域的范围。

  (4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型。

  6.分段函数

  (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

  (2)各部分的.自变量的取值情况.

  (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.

  (4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数

  7.映射

  一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A---B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)---B(象)”

  对于映射f:A→B来说,则应满足:

  (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;

  (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;

  (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

  注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射,而映射不一定的函数

  8、函数的单调性(局部性质)及最值

  (1、增减函数

  (1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

  (2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

  注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种

  (2、图象的特点

  如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

  (3、函数单调区间与单调性的判定方法

  (A)定义法:

  任取x1,x2∈D,且x1

  作差f(x1)-f(x2);

  变形(通常是因式分解和配方);

  定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

  下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

  (B)图象法(从图象上看升降)

  (C)复合函数的单调性

  复合函数:如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。

  复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”

  注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

  9:函数的奇偶性(整体性质)

  (1、偶函数

  一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

  (2、奇函数

  一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=―f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

  (3、具有奇偶性的函数的图象的特征

  偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

  利用定义判断函数奇偶性的步骤:

  a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是非奇非偶的函数;若对称,则进行下面判断;

  b、确定f(-x)与f(x)的关系;

  c、作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;

  若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

  (4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性

  a、在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;

  奇函数的加减仍为奇函数;

  奇数个奇函数的乘除认为奇函数;

  偶数个奇函数的乘除为偶函数;

  一奇一偶的乘积是奇函数;

  a、复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。

  注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,

  (1)再根据定义判定;

  (2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;

  (3)利用定理,或借助函数的图象判定.

  10、函数最值及性质的应用

  (1、函数的最值

  a利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

  b利用图象求函数的最大(小)值

  c利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

  (2、函数的奇偶性与单调性

  奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;

  偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

  (3、判断含糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法是与0作比较,作商法是与1作比较。

  (4)绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。

  (5)在判断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用f(0)=0,但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数。(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。

  高中必修一数学知识点总结2

  方程的根与函数的零点

  1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。

  2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:方程有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点.

  3、函数零点的求法:

  (1)(代数法)求方程的实数根;

  (2)(几何法)对于不能用求根公式的`方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

  4、二次函数的零点:

  (1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.

  (2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

  (3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.

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  一:函数模型及其应用

  本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。

  1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。

  2、用函数解应用题的基本步骤是:

  (1)阅读并且理解题意。(关键是数据、字母的实际意义);

  (2)设量建模;

  (3)求解函数模型;

  (4)简要回答实际问题。

  常见考法:

  本节知识在段考和高考中考查的形式多样,频率较高,选择题、填空题和解答题都有。多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题,属于拔高题,难度较大。

  误区提醒:

  1、求解应用性问题时,不仅要考虑函数本身的定义域,还要结合实际问题理解自变量的取值范围。

  2、求解应用性问题时,首先要弄清题意,分清条件和结论,抓住关键词和量,理顺数量关系,然后将文字语言转化成数学语言,建立相应的数学模型。

  【典型例题】

  例1:

  (1)某种储蓄的月利率是0.36%,今存入本金100元,求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式,并计算5个月后的本息和(不计复利)。

  (2)按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元,每期利率2.25%,试计算5期后的本利和是多少?解:(1)利息=本金×月利率×月数。y=100+100×0.36%?x=100+0.36x,当x=5时,y=101.8,∴5个月后的本息和为101.8元。

  例2:

  某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的'利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位是万元)

  (1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。

  (2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能是企业获得利润,其利润约为多少万元。(精确到1万元)。

  高中必修一数学知识点总结4

  【基本初等函数】

  一、指数函数

  (一)指数与指数幂的运算

  1、根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈

  当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数。此时,的次方根用符号表示。式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand)。

  当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数。此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号―表示。正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0)。由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。

  注意:当是奇数时,当是偶数时,

  2、分数指数幂

  正数的分数指数幂的意义,规定:

  0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

  指出:规定了分数指数幂的'意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。

  3、实数指数幂的运算性质

  (二)指数函数及其性质

  1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数(exponential),其中x是自变量,函数的定义域为R。

  注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1。

  2、指数函数的图象和性质

  高中必修一数学知识点总结5

  二次函数

  I.定义与定义表达式

  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c

  (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

  则称y为x的二次函数。

  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

  II.二次函数的三种表达式

  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

  顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]

  交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]

  注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

  h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

  III.二次函数的.图像

  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

  IV.抛物线的性质

  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

  2.抛物线有一个顶点P,坐标为

  P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

  当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。

  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

  |a|越大,则抛物线的开口越小。

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