高一数学教案

时间：2023-11-08 07:48:28 教案我要投稿

高一数学教案

　　作为一名辛苦耕耘的教育工作者，总归要编写教案，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。教案应该怎么写呢？以下是小编为大家整理的高一数学教案，仅供参考，欢迎大家阅读。

高一数学教案

高一数学教案1

　　一、指导思想与理论依据

　　数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教学手段上，则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。

　　二、教材分析

　　三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）。本节是第一课时，教学内容为公式（二）、（三）、（四）。教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上，利用对称思想发现任意角与、、终边的对称关系，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式公式（二）、（三）、（四）。同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求。为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位。

　　三、学情分析

　　本节课的授课对象是本校高一（1）班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容。

　　四、教学目标

　　（1）。基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式；

　　（2）。能力训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单的三角函数求值与化简；

　　（3）。创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力；

　　（4）。个性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观。

　　五、教学重点和难点

　　1。教学重点

　　理解并掌握诱导公式。

　　2。教学难点

　　正确运用诱导公式，求三角函数值，化简三角函数式。

　　六、教法学法以及预期效果分析

　　“授人以鱼不如授之以鱼”，作为一名老师，我们不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想方法，如何实现这一目的，要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究。下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析。

　　1。教法

　　数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果，数学学习的目的不仅仅是为了获得数学知识，更主要作用是为了训练人的思维技能，提高人的思维品质。

　　在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”，由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦。

　　2。学法

　　“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，很多课堂教学常常以高起点、大容量、快推进的做法，以便教给学生更多的知识点，却忽略了学生接受知识需要时间消化，进而泯灭了学生学习的兴趣与热情。如何能让学生程度的消化知识，提高学习热情是教者必须思考的问题。

　　在本节课的教学过程中，本人引导学生的学法为思考问题、共同探讨、解决问题简单应用、重现探索过程、练习巩固。让学生参与探索的全部过程，让学生在获取新知识及解决问题的方法后，合作交流、共同探索，使之由被动学习转化为主动的'自主学习。

　　3。预期效果

　　本节课预期让学生能正确理解诱导公式的发现、证明过程，掌握诱导公式，并能熟练应用诱导公式了解一些简单的化简问题。

　　七、教学流程设计

　　（一）创设情景

　　1。复习锐角300，450，600的三角函数值；

　　2。复习任意角的三角函数定义；

　　3。问题：由，你能否知道sin2100的值吗？引如新课。

　　设计意图

　　自信的鼓励是增强学生学习数学的自信，简单易做的题加强了每个学生学习的热情，具体数据问题的出现，让学生既有好像会做的心理但又有迷惑的茫然，去发掘潜力期待寻找机会证明我能行，从而思考解决的办法。

　　（二）新知探究

　　1。让学生发现300角的终边与2100角的终边之间有什么关系；

　　2。让学生发现300角的终边和2100角的终边与单位圆的交点的坐标有什么关系；

　　3。Sin2100与sin300之间有什么关系。

　　设计意图

　　由特殊问题的引入，使学生容易了解，实现教学过程的平淡过度，为同学们探究发现任意角与的三角函数值的关系做好铺垫。

　　（三）问题一般化

　　探究一

　　1。探究发现任意角的终边与的终边关于原点对称；

　　2。探究发现任意角的终边和角的终边与单位圆的交点坐标关于原点对称；

　　3。探究发现任意角与的三角函数值的关系。

　　设计意图

　　首先应用单位圆，并以对称为载体，用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，数形结合，问题的设计提问从特殊到一般，从线对称到点对称到三角函数值之间的关系，逐步上升，一气呵成诱导公式二。同时也为学生将要自主发现、探索公式三和四起到示范作用，下面练习设计为了熟悉公式一，让学生感知到成功的喜悦，进而敢于挑战，敢于前进

　　（四）练习

　　利用诱导公式（二），口答下列三角函数值。

　　（1）。；（2）。；（3）。。

　　喜悦之后让我们重新启航，接受新的挑战，引入新的问题。

　　（五）问题变形

　　由sin3000=—sin600出发，用三角的定义引导学生求出sin（—3000），Sin1500值，让学生联想若已知sin3000=—sin600，能否求出sin（—3000），Sin1500）的值。学生自主探究

高一数学教案2

　　【学习目标】

　　1、感受数学探索的成功感，提高学习数学的兴趣；

　　2、经历诱导公式的探索过程，感悟由未知到已知、复杂到简单的数学转化思想。

　　3、能借助单位圆的对称性理解记忆诱导公式，能用诱导公式进行简单应用。

　　【学习重点】三角函数的诱导公式的理解与应用

　　【学习难点】诱导公式的推导及灵活运用

　　【知识链接】（1）单位圆中任意角α的正弦、余弦的定义

　　（2）对称性：已知点P(x,)，那么，点P关于x轴、轴、原点对称的点坐标

　　【学习过程】

　　一、预习自学

　　阅读书第19页——20页内容，通过对－α、π－α、π＋α、2π－α、α的终边与单位圆的交点的对称性规律的探究，结合单位圆中任意角的正弦、余弦的定义，从中自我发现归纳出三角函数的诱导公式，并写出下列关系：

　　(1)- 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式与 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系

　　(2)角407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式与角 407[导学案]4.4单位圆的`对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系

　　(3)角 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式与角 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系

　　(4)角 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式与角 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系

　　二、合作探究

　　探究1、求下列函数值，思考你用到了哪些三角函数诱导公式？试总结一下求任意角的三角函数值的过程与方法。

　　（1） 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式（2） 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式 (3)sin(－1650°)；

　　探究2: 化简： 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式（先逐个化简）

　　探究3、利用单位圆求满足 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式的角的集合。

　　三、学习小结

　　（1）你能说说化任意角的正（余）弦函数为锐角正（余）弦函数的一般思路吗？

　　（2）本节学习涉及到什么数学思想方法？

　　（3）我的疑惑有

　　【达标检测】

　　1、在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点Ｐ（- 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式， 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式）,

　　则sin(－α)= ;cs(α±π)= ;cs(π－α)=

　　2.求下列函数值:

　　（1）sin（ 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式）= ； (2) cs210&rd;=

　　3、若csα=-1/2,则α的集合S=

高一数学教案3

　　【内容与解析】

　　本节课要学的内容有函数的概念指的是函数的概念及符号的理解，理解它关键就是能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。学生已经学过了集合并且初中对函数的概念已经作了介绍，本节课的内容函数的概念就是在此基础上的发展的。由于它还与基本初等函数和函数模型等内容有必要的联系,所以在本学科有着很重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的核心内容。教学的重点是函数的概念，函数的三要素，所以解决重点的关键是通过实例领悟构成函数的三个要素；会求一些简单函数的定义域和值域。

　　【教学目标与解析】

　　1、教学目标

　　（1）理解函数的概念；

　　（2）了解区间的概念；

　　2、目标解析

　　（1）理解函数的概念就是指能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

　　（2）了解区间的概念就是指能够体会用区间表示数集的意义和作用；

　　【问题诊断分析】

　　在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是函数的概念及符号的理解，产生这一问题的原因是：函数本身就是一个抽象的概念，对学生来说一个难点。要解决这一问题，就要在通过从实际问题中抽象概况函数的概念，培养学生的抽象概况能力，其中关键是理论联系实际，把抽象转化为具体。

　　【教学过程】

　　问题1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的'高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h＝130t-5t2.

　　1.1这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范围是什么？试用集合表示？

　　1.2高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？

　　设计意图：通过以上问题，让学生正确理解让学生体会用解析式或图象刻画两个变量之间的依赖关系，从问题的实际意义可知，在t的变化范围内任给一个t，按照给定的对应关系，都有唯一的一个高度h与之对应。

　　问题2：分析教科书中的实例(2)，引导学生看图并启发：在t的变化t按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧层空洞面积S与之相对应。

　　问题3：要求学生仿照实例(1)、(2)，描述实例(3)中恩格尔系数和时间的关系。

　　设计意图：通过这些问题，让学生理解得到函数的定义，培养学生的归纳、概况的能力。

　　问题4：上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？

　　4.1在一个函数中，自变量x和函数值y的变化范围都是集合，这两个集合分别叫什么名称？

　　4.2在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x∈R？

　　4.3一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？

　　【例题】：

　　例1求下列函数的定义域

　　分析：求定义域就是使式子有意义的x的取值所构成的集合；定义域一定是集合！

　　例2已知函数

　　分析：理解函数f(x)的意义

　　例3下列函数中哪个与函数相等？

　　例4在下列各组函数中与是否相等？为什么？

　　分析：

　　（1）两个函数相等，要求定义域和对应关系都一致；

　　（2）用x还是用其它字母来表示自变量对函数实质而言没有影响.

　　【课堂目标检1测】

　　教科书第19页1、2.

　　【课堂小结】

　　1、理解函数的定义，函数的三要素，会球简单的函数的定义域和函数值；

　　2、理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式转化为区间。

高一数学教案4

　　【教学目的】

　　通过等可能事件概率的讲解，使学生得到一种较简单的、较现实的计算事件概率的方法。

　　1.了解基本事件；等可能事件的概念；

　　2.理解等可能事件的概率的定义，能运用此定义计算等可能事件的概率

　　【教学重点】

　　熟练、准确地应用排列、组合知识，是顺利求出等可能事件概率的重要方法。1.等可能事件的概率的意义：如果在一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A)=? 。2.等可能事件A的概率公式的简单应用。

　　【教学难点】

　　等可能事件概率的计算方法。试验中出现的结果个数n必须是有限的，每个结果出现的可能性必须是相等的。

　　【教学过程】

　　一、复习提问

　　1.下面事件：①在标准大气压下，水加热到800C时会沸腾。②掷一枚硬币，出现反面。③实数的绝对值不小于零；是不可能事件的有

　　A.②B. ① C. ①②D. ③

　　2.下面事件中：①连续掷一枚硬币，两次都出现正面朝上；②异性电荷，相互吸引；③在标准大气压下，水在10C结冰。是随机事件的有

　　A.②B. ③ C. ① D.②③

　　3.下列命题是否正确，请说明理由

　　①“当ｘ∈R时，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ≤1”是必然事件；

　　②“当ｘ∈R时，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ≤1”是不可能然事件；

　　③“当ｘ∈R时，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＜2”是随机事件；

　　④“当ｘ∈R时，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＜2”是必然事件；

　　3.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次击中10环，有3次击中9环，有4次击中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的频率，假设此人射击1次，问中靶的概率大约是多少？

　　4.上抛一个刻着1、2、3、4、5、6字样的正六面体方块出现字样为“3”的事件的概率是多少？出现字样为“0”的事件的概率为多少？上抛一个刻着六个面都是“P”字样的正方体方块出现字样为“P”的事件的概率为多少？

　　二、新课引入

　　随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验求得其近似值。但对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率。这种计算随机事件概率的方法，比经过大量重复试验得出来的概率，有更简便的运算过程；有更现实的计算方法。这一节课程的学习，对有关排列、组合的基本知识和基本思考问题的方法有较高的要求。

　　三、进行新课

　　上面我们已经说过：随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验求得其近似值。但对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率。

　　例如，掷一枚均匀的硬币，可能出现的结果有：正面向上，反面向上。由于硬币是均匀的，可以认为出现这两种结果的可能发生是相等的。即可以认为出现“正面向上”的概率是1/2，出现“反面向上”的概率也是1/2。这与前面表1中提供的大量重复试验的结果是一致的。

　　又如抛掷一个骰子，它落地时向上的数的可能是情形1,2，3,4，5,6之一。即可能出现的结果有6种。由于骰子是均匀的，可以认为这6种结果出现的.可能发生都相等，即出现每一种结果的概率都是1/6。这种分析与大量重复试验的结果也是一致的。

　　现在进一步问：骰子落地时向上的数是3的倍数的概率是多少？

　　由于向上的数是3,6这2种情形之一出现时，“向上的数是3的倍数”这一事件（记作事件A）发生。因此事件A的概率P（A）＝2/6＝1/3

　　定义1基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

　　通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有ｎ个，即此试验由ｎ个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等。那么每一个基本的概率都是。如果某个事件A包含的结果有ｍ个，那么事件A的概率P（A）＝。亦可表示为P（A）＝? 。

　　四、课堂举例：

　　【例题1】有10个型号相同的杯子，其中一等品6个，二等品3个，三等品1个．从中任取1个，取到各个杯子的可能性是相等的。由于是从10个杯子中任取1个，共有10种等可能的结果。又由于其中有6个一等品，从这10个杯子中取到一等品的结果有6种。因此，可以认为取到一等品的概率是。同理，可以认为取到二等品的概率是3/10，取到三等品的概率是。这和大量重复试验的结果也是一致的。

　　【例题2】从52张扑克牌中任意抽取一张（记作事件A），那么不论抽到哪一张都是机会均等的，也就是等可能性的，不论抽到哪一张花色是红心的牌（记作事件B）也都是等可能性的；又不论抽到哪一张印有“A”字样的牌（记作事件C）也都是等可能性的。所以各个事件发生的概率分别为P（A）＝=1，P（B）＝＝，P（C）＝＝

　　在一次试验中，等可能出现的ｎ个结果组成一个集合I，这ｎ个结果就是集合I的ｎ个元素。各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含ｍ个结果的事件A对应于I的含有ｍ个元素的子集A.因此从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数（记作ｃａｒｄ（A））与集合I的元素个数（记作ｃａｒｄ（I））的比值。即P（A）＝＝

　　例如，上面掷骰子落地时向上的数是3的倍数这一事件A的概率P（A）＝＝＝

　　【例3】先后抛掷两枚均匀的硬币，计算：

　　(1)两枚都出现正面的概率；

　　(2)一枚出现正面、一枚出现反面的概率。

　　分析：抛掷一枚硬币，可能出现正面或反面这两种结果。因而先后抛掷两枚硬币可能出现的结果数，可根据乘法原理得出。由于硬币是均匀的，所有结果出现的可能性都相等。又在所有等可能的结果中，两枚都出现正面这一事件包含的结果数是可以知道的，从而可以求出这个事件的概率。同样，一枚出现正面、一枚出现反面这一事件包含的结果数是可以知。道的，从而也可求出这个事件的概率。

　　解：由乘法原理，先后抛掷两枚硬币可能出现的结果共有2×2＝4种，且这4种结果出现的可能性都相等。

　　(1)记“抛掷两枚硬币，都出现正面”为事件A，那么在上面4种结果中，事件A包含的结果有1种，因此事件A的概率

　　P（A）=1/4

　　答：两枚都出现正面的概率是1/4。

　　(2)记“抛掷两枚硬币，一枚出观正面、一枚出现反面”为事件B。那么事件B包含的结果有2种，因此事件B的概率

　　P（B）=2/4=1/2

　　答：一枚出现正面、一枚出现反面的概率是1/2。

　　【例4】在100件产品中，有95件合格品，5件次品。从中任取2件，计算：

　　(1)2件都是合格品的概率；

　　(2)2件都是次品的概率；

　　(3)1件是合格品、1件是次品的概率。

　　分析：从100件产品中任取2件可能出现的结果数，就是从、100个元素中任取2个的组合数。由于是任意抽取，这些结果出现的可能性都相等。又由于在所有产品中有95件合格品、5件次品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个的组合数；取到2件次品的结果数，就是从5个元素中任取2个的组合数；取到1件合格品、1件次品的结果数，就是从95个元素中任取1个元素的组合数与从5个元素中任取1个元素的组合数的积，从而可以分别得到所求各个事件的概率。

　　解：(1)从100件产品中任取2件，可能出现的结果共有种，且这些结果出现的可能性都相等。又在种结果中，取到2件合格品的结果有种。记“任取2件，都是’合格品”为事件A，那么事件A的概率

　　P（A）=? /? =893/990

　　答：2件都是合格品的概率为893/990

　　(2)记“任取2件，都是次品”为事件B。由于在种结果中，取到2件次品的结果有C52种，事件B的概率

　　P（B）=? /? =1/495

　　答：2件都是次品的概率为1/495

　　(3)记“任取2件，1件是合格品、I件是次品”为C。由于在种结果中，取到1件合格品、l件次品的结果有?种，事件C的概率

　　P（C）= /? =19/198

　　答：1件是合格品、1件是次品的概率为19/198

　　【例5】某号码锁有6个拨盘，每个拨盘上有从0到9共十个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个六位数字号码(开锁号码)时，锁才能打开。如果不知道开锁号码，试开一次就把锁打开的概率是多少?

　　分析：号码锁每个拨盘上的数字，从0到9共有十个。6个拨盘上的各一个数字排在?起，就是一个六位数字号码。根据乘法原理，这种号码共有10的6次方个。由于不知道开锁号码，试开时采用每一个号码的可能性都相等。又开锁号码只有一个，从而可以求出试开一次就把锁打开的概率。

　　解：号码锁每个拨盘上的数字有10种可能的取法。根据乘法原理，6个拨盘上的数字组成的六位数字号码共有10的6次方个。又试开时采用每一个号码的可能性都相等，且开锁号码只有一个，所以试开一次就把锁打开的概率

　　P=1/1000000

　　答：试开一次就把锁打开的概率是1/1000000

　　五、课堂小结：用本节课的观点求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果的可能性认为是相等的；其次是对于通过一个比值的计算来确定随机事件的概率，并不需要通过大量重复的试验。因此，从方法上来说这一节课所提到的方法，要比上一节所提到的方法简便得多，并且更具有实用价值。

　　六、课堂练习

　　1.(口答)在40根纤维中，有12根的长度超过30毫米。从中任取1根，取到长度超过30毫米的纤维的概率是多少?

　　2．在10支铅笔中，有8支正品和2支副品。从中任取2支，恰好都取到正品的概率是多少?

　　七、布置作业：课本第120页习题10.5第2――－6题

高一数学教案5

　　教学目标

　　熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

　　教学重难点

　　熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

　　教学过程

　　【复习要求】

　　熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

　　【方法规律】

　　应用数列知识界实际应用问题的关键是通过对实际问题的综合分析，确定其数学模型是等差数列，还是等比数列，并确定其首项，公差(或公比)等基本元素，然后设计合理的计算方案，即数学建模是解答数列应用题的关键。

　　一、基础训练

　　1.某种细菌在培养过程中，每20分钟xx一次(一个xx为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成()

　　A、511B、512C、1023D、1024

　　2.若一工厂的生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为()

　　A、B、

　　C、D、

　　二、典型例题

　　例1：某人每期期初到银行存入一定金额A，每期利率为p，到第n期共有本金nA，xx期的利息是nAp，第二期的利息是(n-1)Ap……，第n期(即xx后一期)的利息是Ap，问到第n期期末的本金和是多少?

　　评析：此例来自一种常见的存款叫做零存整取。存款的方式为每月的某日存入一定的金额，这是零存，一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取。计算本利和就是本例所用的有穷等差数列求和的方法。用实际问题列出就是：本利和=每期存入的`金额[存期+1/2存期(存期+1)利率]

　　例2：某人从1999到20xx年间，每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若每年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到20xx年6月1日，此人到银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是多少元?

　　例3、某地区位于沙漠边缘，人与自然进行长期顽强的斗争，到1999年底全地区的绿化率已达到30%，从20xx年开始，每年将出现以下的变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠.问经过多少年的努力才能使全县的绿洲面积超过60%.(lg2=0.3)

　　例4、.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月分曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染着减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新的患者人数xx多?并求这一天的新患者人数.

高一数学教案6

　　一、教学目标：

　　1、知识与技能：理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。

　　2、过程与方法：通过观察、类比、猜测等推理方法，提高我们分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。

　　3、情感态度价值观：体会类比在研究新事物中的作用，了解知识间存在的共同规律。

　　二、重点：等比数列的性质及其应用。

　　难点：等比数列的性质应用。

　　三、教学过程。

　　同学们，我们已经学习了等差数列，又学习了等比数列的基础知识，今天我们继续学习等比数列的性质及应用。我给大家发了导学稿，让大家做了预习，现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。

　　数列名称等差数列等比数列

　　定义一个数列，若从第二项起每一项减去前一项之差都是同一个常数，则这个数列是等差数列。一个数列，若从第二项起每一项与前一项之比都是同一个非零常数，则这个数列是等比数列。

　　定义表达式an—an—1=d（n≥2）

　　（q≠0）

　　通项公式证明过程及方法

　　an—an—1=d；an—1—an—2=d，…a2—a1=d

　　an—an—1+ an—1—an—2+…+a2—a1=（n—1）d

　　an=a1+（n—1）—d

　　累加法；……、

　　an=a1q n—1

　　累乘法

　　通项公式an=a1+（n—1）—d an=a1q n—1

　　多媒体投影（总结规律）

　　数列名称等差数列等比数列

　　定义等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”

　　定义

　　表

　　达式an—an—1=d（n≥2）

　　通项公式证明

　　迭加法迭乘法

　　通项公式

　　加—乘

　　乘—乘方

　　通过观察，同学们发现：

　　等差数列中的减法、加法、乘法，等比数列中升级为除法、乘法、乘方

　　四、探究活动。

　　探究活动1：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习1；等差数列的性质1；猜想等比数列的性质1；性质证明。

　　练习1在等差数列{an}中，a2= —2，d=2，求a4=_____（用一个公式计算）解：a4= a2+（n—2）d=—2+（4—2）—2=2

　　等差数列的性质1：在等差数列{an}中，a n=am+（n—m）d、

　　猜想等比数列的性质1若{an}是公比为q的等比数列，则an=am—qn—m

　　性质证明右边= am—qn—m= a1qm—1qn—m= a1qn—1=an=左边

　　应用在等比数列{an}中，a2= —2，q=2，求a4=_____、解：a4= a2q4—2=—2—22=—8

　　探究活动2：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习2；等差数列的性质2；猜想等比数列的性质2；性质证明。

　　练习2在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为、解：a3+a4+a5+a6+a7=（a3+ a7）+（a4+ a6）+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180

　　等差数列的性质2：在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq特别的，当m=n时，2 an=ap+aq

　　猜想等比数列的性质2在等比数列{an}中，若m+n=s+t则am—an=as—at特别的，当m=n时，an2=ap—aq

　　性质证明右边=am—an= a1qm—1 a1qn—1= a12qm+n—1= a12qs+t—1=a1qs—1 a1qt—1= as—at=左边证明的方向：一般来说，由繁到简

　　应用在等比数列{an}若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=36，则a3+a5=_____、解：a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=36

　　由于an>0，a3+a5>0，a3+a5=6

　　探究活动3：小组根据导学稿内容研讨等比数列的`性质，并派学生代表上来讲解练习3；等差数列的性质3；猜想等比数列的性质3；性质证明。

　　练习3在等差数列{an}中，a30=10，a45=90，a60=_____、解：a60=2— a45— a30=2×90—10=170

　　等差数列的性质3：若an—k，an，an+k是等差数列{an}中的三项，则这些项构成新的等差数列，且2an=an—k+an+k

　　an即时an—k，an，an+k的等差中项

　　猜想等比数列的性质3若an—k，an，an+k是等比数列{an}中的三项，则这些项构成新的等比数列，且an2=an—k—an+k

　　an即时an—k，an，an+k的等比中项

　　性质证明右边=an—k—an+k= a1qn—k—1 a1qn+k—1= a12qn—k—1+n+k—1= a12q2n—2=（a1qn—1）2t=an2左边证明的方向：由繁到简

　　应用在等比数列{an}中a30=10，a45=90，a60=_____、

　　解：a60= = =810

　　应用等比数列{an}中，a15=10，a45=90，a60=________、解：

　　a30= = = 30

　　A60=

　　探究活动4：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习4；等差数列的性质4；猜想等比数列的性质4；性质证明。

　　练习4设数列{an} 、{ bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=_____、解：a5+b5=2（a3+b3）—（a1+b1）=2—21—7=35

　　等差数列的性质4：设数列{an} 、{ bn}是公差分别为d1、d2的等差数列，则数列{an+bn}是公差d1+d2的等差数列两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列

　　猜想等比数列的性质4设数列{an} 、{ bn}是公比分别为q1、q2的等比数列，则数列{an—bn}是公比为q1q2的等比数列两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列，两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。

　　性质证明证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1；{bn}的首项为b1，公比为q2，设cn=an？bn那么数列{an？bn}的第n项与第n+1项分别为：

　　应用设数列{an} 、{ bn}都是等比数列，若a1b1=7，a3b3=21，则a5b5=_____、解：由题意可知{an？bn}是等比数列，a3b3是a1b1；a5b5的等比中项。

　　由（a3b3）2= a1b1— a5b5 212= 7— a5b5 a5b5=63

　　（四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位，以学生的自主学习，自主探究为主题，以教师的指导为辅，开展教学活动）

　　五、等比数列具有的单调性

　　（1）q<0，等比数列为摆动数列，不具有单调性

　　（2）q>0（举例探讨并填表）

　　a1 a1>0 a1<0

　　q的范围0 q=1 q>1 0 q=1 q>1

　　{an}的单调性单调递减不具有单调性单调递增单调递增不具有单调性单调递减

　　让学生举例说明，并查验有多少学生填对。（真确评价）

　　六、课堂练习：

　　1、已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6等于（）、

　　A、 B、？7　 C、？6　 D、？

　　解析：由已知得a32？=5，？a82=10，∴a4a5a6=a53？= = =5？、

　　答案：A

　　2、已知数列1，a1，a2，4是等比数列，则a1a2=　　、

　　答案：4

　　3、 +1与—1两数的等比中项是（）、

　　A、1　 B、？—1　 C、？D、±1？

　　解析：根据等比中项的定义式去求。答案：选D

　　4、已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9=2？，a2=1，则a1等于（）、

　　A、2　 B、？C、？D、？

　　解析：∵a3a9= =2？，∴？=q2=2，∵q>0，∴q=？、故a1=？=？=？、

　　答案：C

　　5练习题：三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。

　　分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a—d，a，a+d、

　　由类比思想的应用可得，若三个数成等比数列，则设这三个数

　　为：根据题意

　　再由方程组可得：q=2或

　　既这三个数为2，4，8或8，4，2。

　　七、小结

　　本节课通过观察、类比、猜测等推理方法，研究等比数列的性质及其应用，从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括，逻辑思维解决问题的能力。

　　八、

　　§3、1、2等比数列的性质及应用

　　性质一：若{an}是公比为q的等比数列，则an=am—qn—m

　　性质二：在等比数列{an}中，若m+n=s+t则am—an=as—at

　　性质三：若an—k，an，an+k是等比数列{an}中的三项，则这些

　　项构成新的等比数列，且an2=an—k—an+k

　　性质四：设数列{an} 、{ bn}是公比分别为q1、q2的等比

　　数列，则数列{an—bn}是公比为q1q2的等比数列

　　板书设计

　　九、反思

高一数学教案7

　　教学目标

　　(1)掌握一元二次不等式的解法;

　　(2)知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组;

　　(3)了解简单的分式不等式的解法;

　　(4)能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系;

　　(5)能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式;

　　(6)通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;

　　(7)通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观.

　　教学重点：一元二次不等式的解法;

　　教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系.

　　教与学过程设计

　　第一课时

　　Ⅰ.设置情境

　　问题：

　　①解方程

　　②作函数的图像

　　③解不等式

　　【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗?

　　【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。

　　通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用

　　在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图像上!)我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢?

　　Ⅱ.探索与研究

　　我们现在就结合不等式的求解来试一试。(师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。)

　　【答】方程的解集为

　　不等式的解集为

　　【置疑】哪位同学还能写出的解法?(请一程度差的同学回答)

　　【答】不等式的解集为

　　我们通过二次函数的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第(5)小题的解集，还求出了的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。

　　下面我们再对一般的一元二次不等式与来进行讨论。为简便起见，暂只考虑的情形。请同学们思考下列问题：

　　如果相应的一元二次方程分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数的图像与x轴的位置关系如何?(提问程度较好的学生)

　　【答】二次函数的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。

　　现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。(通过多媒体或其他载体给出以下表格)

　　【答】的解集依次是

　　的解集依次是

　　它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数的图像。

　　课本第19页上的'例1.例2.例3.它们均是求解二次项系数的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。

　　(教师巡视，重点关注程度稍差的同学。)

　　Ⅲ.演练反馈

　　1.解下列不等式：

　　(1) (2)

　　(3) (4)

　　2.若代数式的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是。

　　3.解不等式

　　(1) (2)

　　参考答案：

　　1.(1) ;(2) ;(3) ;(4)R

　　3.(1)

　　(2)当或时，，当时，当或时，。

　　Ⅳ.总结提炼

　　这节课我们学习了二次项系数的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。

　　(五)、课时作业

　　(P20.练习等3、4两题)

　　(六)、板书设计

　　第二课时

　　Ⅰ.设置情境

　　(通过讲评上一节课课后作业中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。)

　　上节课我们只讨论了二次项系数的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问，那么二次项系数的一元二次不等式如何来求解?咱们班上有谁能解答这个疑问呢?

　　Ⅱ.探索研究

　　(学生议论纷纷.有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，…….教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解.)

　　生甲：只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数的一元二次不等式的解集.

　　生乙：我觉得先在不等式两边同乘以-1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了.

　　师：首先，这两种见解都是合乎逻辑和可行的不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论.这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论容易搞混导致错误.而按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第19页例4.

　　(待学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍.)

　　[知识运用与解题研究]

　　由此例可知，对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为的一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法。我们就能求

　　解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式.(调两位程度中等的学生演板)

　　(1) (2)

　　(分别为课本P21习题1.5中1大题(2)、(4)两小题.教师讲评两位同学的解答，注意纠正表述方面存在的问题.)

　　训练二可化为一元一次不等式组来求解的不等式.

　　目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦.故在求解形如 (或 )的一元二次不等式时则根据(有理数)乘(除)运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解.现在清同学们阅读课本P20上关于不等式求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集?(待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该问题.)

　　【答】因为满足不等式组或的x都能使原不等式成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集.

　　这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们必相等，现在请同学们求解以下各不等式.(调三位程度各异的学生演板.教师巡视，重点关注程度较差的学生).

　　(1) [P20练习中第1大题]

　　(2) [P20练习中第1大题]

　　(3) [P20练习中第2大题]

　　(老师扼要讲评三位同学的解答.尤其要注意纠正表述方面存在的问题.然后讲解P21例5).

　　例5 解不等式

　　因为(有理数)积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解 (或 )之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。具体解答过程如下。

　　解：(略)

　　现在请同学们完成课本P21练习中第3、4两大题。

　　(等学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人追查原因，自行纠正。)

　　[训练三]用“符号法则”解不等式的复式训练。

　　(通过多媒体或其他载体给出下列各题)

　　1.不等式与的解集相同此说法对吗?为什么[补充]

　　2.解下列不等式：

　　(1) [课本P22第8大题(2)小题]

　　(2) 　 [补充]

　　(3) [课本P43第4大题(1)小题]

　　(4) [课本P43第5大题(1)小题]

　　(5) [补充]

　　(每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程)

　　参考答案：

　　1.不对。同时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。

　　2.(1)

　　(2)原不等式可化为：，即

　　解集为。

　　(3)原不等式可化为

　　解集为

　　(4)原不等式可化为或

　　解集为

　　(5)原不等式可化为：或解集为

　　Ⅲ.总结提炼

　　这节课我们重点讲解了利用(有理数)乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注意的是，这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法。

　　(五)布置作业

　　(P22.2(2)、(4);4;5;6。)

　　(六)板书设计

高一数学教案8

　　一、教材

　　《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。

　　二、学情

　　学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定;且在上节的学习过程中掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式;掌握利用方程组的方法来求直线的交点;具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础;具有一定的数形结合解题思想的基础。

　　三、教学目标

　　(一)知识与技能目标

　　能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系;可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简单判断出直线与圆的关系。

　　(二)过程与方法目标

　　经历操作、观察、探索、总结直线与圆的位置关系的判断方法，从而锻炼观察、比较、概括的逻辑思维能力。

　　(三)情感态度价值观目标

　　激发求知欲和学习兴趣，锻炼积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。

　　四、教学重难点

　　(一)重点

　　用解析法研究直线与圆的位置关系。

　　(二)难点

　　体会用解析法解决问题的数学思想。

　　五、教学方法

　　根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持.在教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。

　　六、教学过程

　　(一)导入新课

　　教师借助多媒体创设泰坦尼克号的情景，并从中抽象出数学模型：已知冰山的分布是一个半径为r的'圆形区域，圆心位于轮船正西的l处，问，轮船如何航行能够避免撞到冰山呢?如何行驶便又会撞到冰山呢?

　　教师引导学生回顾初中已经学习的直线与圆的位置关系，将所想到的航行路线转化成数学简图，即相交、相切、相离。

　　设计意图：在已有的知识基础上，提出新的问题，有利于保持学生知识结构的连续性，同时开阔视野，激发学生的学习兴趣。

　　(二)新课教学——探究新知

　　教师提问如何判断直线与圆的位置关系，学生先独立思考几分钟，然后同桌两人为一组交流，并整理出本组同学所想到的思路。在整个交流讨论中，教师既要有对正确认识的赞赏，又要有对错误见解的分析及对该学生的鼓励。

　　判断方法：

　　(1)定义法：看直线与圆公共点个数

　　即研究方程组解的个数，具体做法是联立两个方程，消去x(或y)后所得一元二次方程，判断△和0的大小关系。

　　(2)比较法：圆心到直线的距离d与圆的半径r做比较，

　　(三)合作探究——深化新知

　　教师进一步抛出疑问，对比两种方法，由学生观察实践发现，两种方法本质相同，但比较法只适合于直线与圆，而定义法适用范围更广。教师展示较为基础的题目，学生解答，总结思路。

　　已知直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1,判断它们的位置关系?

　　让学生自主探索,讨论交流，并阐述自己的解题思路。

　　当已知了直线与圆的方程之后，圆心坐标和半径r易得到，问题的关键是如何得到圆心到直线的距离d，他的本质是点到直线的距离，便可以直接利用点到直线的距离公式求d。类比前面所学利用直线方程求两直线交点的方法，联立直线与圆的方程，组成方程组，通过方程组解得个数确定直线与圆的交点个数，进一步确定他们的位置关系。最后明确解题步骤。

　　(四)归纳总结——巩固新知

　　为了将结论由特殊推广到一般引导学生思考：

　　可由方程组的解的不同情况来判断：

　　当方程组有两组实数解时，直线l与圆C相交;

　　当方程组有一组实数解时，直线l与圆C相切;

　　当方程组没有实数解时，直线l与圆C相离。

　　活动：我将抽取两位同学在黑板上扮演，并在巡视过程中对部分学生加以指导。最后对黑板上的两名学生的解题过程加以分析完善。通过对基础题的练习，巩固两种判断直线与圆的位置关系判断方法，并使每一个学生获得后续学习的信心。

　　(五)小结作业

　　在小结环节，我会以口头提问的方式：

　　(1)这节课学习的主要内容是什么?

　　(2)在数学问题的解决过程中运用了哪些数学思想?

　　设计意图：启发式的课堂小结方式能让学生主动回顾本节课所学的知识点。也促使学生对知识网络进行主动建构。

　　作业：在学生回顾本堂学习内容明确两种解题思路后，教师让学生对比两种解法，那种更简捷，明确本节课主要用比较d与r的关系来解决这类问题，对用方程组解的个数的判断方法，要求学生课外做进一步的探究，下一节课汇报。

　　七、板书设计

　　我的板书本着简介、直观、清晰的原则，这就是我的板书设计。

高一数学教案9

　　教学目标：

　　(1)了解集合的表示方法;

　　(2)能正确选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用;

　　教学重点：掌握集合的表示方法;

　　教学难点：选择恰当的表示方法;

　　教学过程：

　　一、复习回顾：

　　1.集合和元素的定义;元素的三个特性;元素与集合的关系;常用的数集及表示。

　　2.集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么?有何关系

　　二、新课教学

　　(一).集合的表示方法

　　我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

　　(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法。

　　如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…;

　　说明：1.集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考

　　虑元素的顺序。

　　2.各个元素之间要用逗号隔开;

　　3.元素不能重复;

　　4.集合中的元素可以数，点，代数式等;

　　5.对于含有较多元素的'集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集N用列举法表示为

　　例1.(课本例1)用列举法表示下列集合：

　　(1)小于10的所有自然数组成的集合;

　　(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;

　　(3)由1到20以内的所有质数组成的集合;

　　(4)方程组的解组成的集合。

　　思考2：(课本P4的思考题)得出描述法的定义：

　　(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内。

　　具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

　　一般格式：

　　如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…;

　　说明：

　　1.课本P5最后一段话;

　　2.描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x|整数}，即代表整数集Z。

　　辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

　　例2.(课本例2)试分别用列举法和描述法表示下列集合：

　　(1)方程x2—2=0的所有实数根组成的集合;

　　(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合;

　　(3)方程组的解。

　　思考3：(课本P6思考)

　　说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

　　(二).课堂练习：

　　1.课本P6练习2;

　　2.用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

　　3.集合A={x| ∈Z，x∈N}，则它的元素是。

　　4.已知集合A={x|-3

　　归纳小结：

　　本节课从实例入手，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

　　作业布置：

　　1. 习题1.1，第3.4题;

　　2. 课后预习集合间的基本关系.

高一数学教案10

　　一、目的要求

　　1、通过本章的引言，使学生初步了解本章所研究的问题是集合与简易逻辑的有关知识，并认识到用数学解决实际问题离不开集合与逻辑的知识。

　　2、在小学与初中的基础上，结合实例，初步理解集合的概念，并知道常用数集及其记法。

　　3、从集合及其元素的概念出发，初步了解属于关系的意义。

　　二、内容分析

　　1、集合是中学数学的一个重要的基本概念。在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的`基础。

　　把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。

　　2、1、1节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明。然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。

　　3、这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念。学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义。本节课的教学重点是集合的基本概念。

　　4、在初中几何中，点、直线、平面等概念都是原始的、不定义的概念，类似地，集合则是集合论中的原始的、不定义的概念。在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。”这句话，只是对集合概念的描述性说明。

　　三、教学过程

　　提出问题：

　　教科书引言所给的问题。

　　组织讨论：

　　为什么“回答有20名同学参赛”不一定对，怎么解决这个问题。

　　归纳总结：

　　1、可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题、

　　2、怎么解决这个问题呢？以前我们解一个问题，通常是先用代数式表示问题中的数量关系，再进一步求解，也就是先用数学语言描述它，把它数学化。这个问题与我们过去学过的问题不同，是属于与集合有关的问题，因此需要先用集合的语言描述它，完全解决问题，还需要更多的集合与逻辑的知识，这就是本章将要学习的内容了。

　　提出问题：

　　1、在初中，我们学过哪些集合？

　　2、在初中，我们用集合描述过什么？

　　组织讨论：

　　什么是集合？

　　归纳总结：

　　1、代数：实数集合，不等式的解集等；

　　几何：点的集合等。

　　2、在初中几何中，圆的概念是用集合描述的。

　　新课讲解：

　　1、集合的概念：（具体举例后，进行描述性定义）

　　（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。

　　（2）元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

　　（3）集合中的元素与集合的关系：

　　a是集合A的元素，称a属于集合A，记作a∈A；

　　a不是集合A的元素，称a不属于集合A，记作。

　　例如，设B={1，2，3，4，5}，那么5∈B，注：集合、元素概念是数学中的原始概念，可以结合实例理解它们所描述的整体与个体的关系，同时，应着重从以下三个元素的属性，来把握集合及其元素的确切含义。

　　①确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。

　　例如，像“我国的小河流”、“年轻人”、“接近零的数”等都不能组成一个集合。

　　②互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的。

　　此外，集合还有无序性，即集合中的元素无顺序。

　　例如，集合{1，2}，与集合{2，1｝表示同一集合。

　　2、常用的数集及其记法：

　　全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N，非负整数集内排除0的集，表示成或；

　　全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；

　　全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q；

　　全体实数的集合通常简称实数集，记作R。

　　注：①自然数集与非负整数集是相同的，就是说，自然数集包括数0，这与小学和初中学习的可能有所不同；

　　②非负整数集内排除0的集，也就是正整数集，表示成或。其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成或。负整数集、正有理数集、正实数集等，没有专门的记法。

　　课堂练习：

　　教科书1、1节第一个练习第1题。

　　归纳总结：

　　1、集合及其元素是数学中的原始概念，只能作描述性定义。学习时应结合实例弄清其含义。

　　2、集合中元素的特性中，确定性可以用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可以用于判定集合间的关系（如后面要学习的包含或相等关系等）。

　　四、布置作业

　　教科书1、1节第一个练习第2题（直接填在教科书上）。

高一数学教案11

　　教材分析

　　圆是学生在初中已初步了解了圆的知识及前面学习了直线方程的基础上来进一步学习《圆的标准方程》，它既是前面圆的知识的复习延伸，又是后继学习圆与直线的位置关系奠定了基础。因此，本节课在本章中起着承上启下的重要作用。

　　教学目标

　　1、知识与技能：探索并掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

　　2、过程与方法：通过圆的标准方程的学习，掌握求曲线方程的方法，领会数形结合的思想。

　　3、情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。

　　教学重点难点

　　以及措施

　　教学重点：圆的标准方程理解及运用

　　教学难点：根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。

　　根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循“直观认知――操作体会――感悟知识特征――应用知识”的认知过程，设计出包括：观察、操作、思考、交流等内容的教学流程。并且充分利用现代化信息技术的教学手段提高教学效率。以此使学生获取知识，给学生独立操作、合作交流的机会。学法上注重让学生参与方程的推导过程，努力拓展学生思维的空间，促其在尝试中发现，讨论中明理，合作中成功，让学生真正体验知识的形成过程。

　　学习者分析

　　高一年级的学生从知识层面上已经掌握了圆的相关性质；从能力层面具备了一定的观察、分析和数据处理能力，对数学问题有自己个人的看法；从情感层面上学生思维活跃积极性高，但他们数学应用意识和语言表达的能力还有待加强。

　　教法设计

　　问题情境引入法启发式教学法讲授法

　　学法指导

　　自主学习法讨论交流法练习巩固法

　　教学准备

　　ppt课件导学案

　　教学环节

　　教学内容

　　教师活动

　　学生活动

　　设计意图

　　情景引入

　　回顾复习

　　（2分钟）

　　1、观赏生活中有关圆的图片

　　2、回顾复习圆的定义，并观看圆的生成flash动画。

　　提问：直线可以用一个方程表示，那么圆可以用一个方程表示吗？

　　教师创设情景，引领学生感受圆。

　　教师提出问题。引导学生思考，引出本节主旨。

　　学生观赏圆的图片和动画，思考如何表示圆的方程。

　　生活中的图片展示，调动学生学习的积极性，让学生体会到园在日常生活中的广泛应用

　　自主学习

　　（5分钟）

　　1、介绍动点轨迹方程的求解步骤：

　　（1）建系：在图形中建立适当的坐标系；

　　（2）设点：用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；

　　（3）列式：用坐标表示条件P（M）的方程；

　　（4）化简：对P（M）方程化简到最简形式；

　　2、学生自主学习圆的方程推导，并完成相应学案内容，教师介绍求轨迹方程的.步骤后，引导学生自学圆的标准方程

　　自主学习课本中圆的标准方程的推导过程，并完成导学案的内容，并当堂展示。

　　培养学生自主学习，获取知识的能力

　　合作探究（10分钟）

　　1、根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件有哪些？

　　2、点M（x0，y0）与圆（x—a）2+（y—b）2=r2的关系的判断方法：

　　（1）点在圆上

　　（2）点在圆外

　　（3）点在圆内

　　教师引导学生分组探讨，从旁巡视指导学生在自学和探讨中遇到的问题，并鼓励学生以小组为单位展示探究成果。

　　学生展开合作性的探讨，并陈述自己的研究成果。

　　通过合作探究和自我的展示，鼓励学生合作学习的品质

　　当堂训练（18分钟）

　　1、求下列圆的圆心坐标和半径

　　C1：x2+y2=5

　　C2：（x—3）2+y2=4

　　C3：x2+（y+1）2=a2（a≠0）

　　2、以C（4，—6）为圆心，半径等于3的圆的标准方程

　　3、设圆（x—a）2+（y—b）2=r2

　　则坐标原点的位置是（）

　　A、在圆外B、在圆上

　　C、在圆内D、与a的取值有关

　　4、写出下列各圆的标准方程（1）圆心在原点，半径等于5

　　（2）经过点P（5，1），圆心在点C（6，—2）；

　　（3）以A（2，5），B（0，—1）为直径的圆

　　5、下列方程分别表示什么图形

　　（1）x2+y2=0

　　（2）（x—1）2 =8—（y+2）2

　　（3）《圆的标准方程》教学设计—贾伟

　　6、巩固提升：已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，—2），且圆心在直线l：x—y+1=0上，求圆C的标准方程并作图

　　指导学生就不同条件下给出的圆心和半径关系，求解圆的标准方程这两个要素展开训练。

　　学生自主开展训练，并纠正学习中所遇到的问题

　　巩固所学知识，并查缺补漏。

　　回顾小结

　　（1分钟）

　　1、你学到了哪些知识？

　　2、你掌握了哪些技能？

　　3、你体会到了哪些数学思想？

　　采用提问的形式帮助学生回顾和分析本节所学。

　　学生思考并从知识、技能和思想方法上回顾总结。

　　培养学生归纳总结能力

　　作业布置

　　（1分钟）

　　课本87页习题2—2

　　A组的第1道题

　　布置训练任务

　　标记并完成相应的任务

　　检测学生掌握知识情况。

　　教学反思

　　本节教学主要遵循“回—导—学—展—讲—练—结”的高效课堂教学模式，遵循学生学习的主体地位，鼓励学生自主思考和探讨。

　　教学中要积极鼓励学生多思考总结，在判断点与圆的位置关系中，要遵从学生个性化的发展思路，鼓励学生创造性的解决问题。

高一数学教案12

　　教学目标

　　（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；

　　（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；

　　（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；

　　（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．

　　教学建议

　　（一）教材分析

　　1．知识结构

　　首先给出推断符号“”，并引出的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识．

　　2．重点难点分析

　　本节的重点与难点是关于充要条件的判断．

　　（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系．

　　（2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该：

　　①首先分清条件是什么，结论是什么；

　　②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；

　　③最后再指出条件是结论的什么条件．

　　（3）在讨论条件和条件的关系时，要注意：

　　①若，但，则是的充分但不必要条件；

　　②若，但，则是的必要但不充分条件；

　　③若，且，则是的充要条件；

　　④若，且，则是的充要条件；

　　⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件．

　　（4）若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．

　　①若，则是的充分条件；

　　显然，要使元素，只需就够了．类似地还有：

　　②若，则是的必要条件；

　　③若，则是的充要条件；

　　④若，且，则是的既不必要也不充分条件．

　　（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．

　　（二）教法建议

　　1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的，与四种命题中的，要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的'语句，也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题．

　　2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．

　　3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．

　　4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．

　　教学设计示例

　　充要条件

　　教学目标：

　　（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；

　　（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；

　　（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；

　　（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．

　　教学重点难点：

　　关于充要条件的判断

　　教学用具：

　　幻灯机或实物投影仪

　　教学过程设计

　　1．复习引入

　　练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：

　　（1）若，则；

　　（2）若，则；

　　（3）全等三角形的面积相等；

　　（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；

　　（5）若，则；

　　（6）若方程有两个不等的实数解，则．

　　（学生口答，教师板书．）

　　（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．

　　置疑：对于命题“若，则”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

　　答：看能不能推出，如果能推出，则原命题是真命题，否则就是假命题．

　　对于命题“若，则”，如果由经过推理能推出，也就是说，如果成立，那么一定成立．换句话说，只要有条件就能充分地保证结论的成立，这时我们称条件是成立的充分条件，记作．

　　2．讲授新课

　　（板书充分条件的定义．）

　　一般地，如果已知，那么我们就说是成立的充分条件．

　　提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．

　　（学生口答）

　　（1）“，”是“”成立的充分条件；

　　（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；

　　（3）“方程的有两个不等的实数解”是“”成立的充分条件．

　　从另一个角度看，如果成立，那么其逆否命题也成立，即如果没有，也就没有，亦即是成立的必须要有的条件，也就是必要条件．

　　（板书必要条件的定义．）

　　提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．

　　（学生口答）．

　　（1）因为，所以是的充分条件，是的必要条件；

　　（2）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；

　　（3）因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

　　（4）因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；

　　（5）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；

　　（6）因为“方程的有两个不等的实根”“”，而且“方程的有两个不等的实根”“”，所以“方程的有两个不等的实根”是“”充分条件，而且是必要条件．

　　总结：如果是的充分条件，又是的必要条件，则称是的充分必要条件，简称充要条件，记作．

　　（板书充要条件的定义．）

　　3．巩固新课

　　例1（用投影仪投影．）

　　（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）

　　①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；

　　②一定能推出，而不一定推出，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；

　　③、是奇数，那么一定是偶数；是偶数，、不一定都是奇数（可能都为偶数），所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；

　　④表示或，所以是成立的必要非充分条件；

　　⑤由交集的定义可知且是成立的充要条件；

　　⑥由知且，所以是成立的充分非必要条件；

　　⑦由知或，所以是，成立的必要非充分条件；

　　⑧易知“是4的倍数”是“是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；

　　（通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．）

　　例2已知是的充要条件，是的必要条件同时又是的充分条件，试与的关系．（投影）

　　解：由已知得，

　　所以是的充分条件，或是的必要条件．

　　4．小结回授

　　今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础．

　　课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第35页练习l、2；第36页练习l、2．

　　（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．）

　　5．课外作业：教材第36页习题1.8 1、2、3．

高一数学教案13

　　教学目的：

　　（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法

　　（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

　　（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

　　教学重点：集合的基本概念及表示方法

　　教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合

　　授课类型：新授课

　　课时安排：1课时

　　教具：多媒体、实物投影仪

　　内容分析：

　　集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。

　　本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。

　　这节课主要学习全章的引言和集合的`基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集 ”这句话，只是对集合概念的描述性说明。

　　教学过程：

　　一、复习引入：

　　1、简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；

　　2、教材中的章头引言；

　　3、集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；

　　4．“物以类聚”，“人以群分”；

　　5．教材中例子（P4）

　　二、讲解新课：

　　阅读教材第一部分，问题如下：

　　（1）有那些概念？是如何定义的？

　　（2）有那些符号？是如何表示的？

　　（3）集合中元素的特性是什么？

　　（一）集合的有关概念：

　　由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

　　定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．

　　1、集合的概念

　　（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）

　　（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

　　2、常用数集及记法

　　（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，

　　（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+

　　（3）整数集：全体整数的集合记作Z ，

　　（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ，

　　（5）实数集：全体实数的集合记作R

　　注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0

　　（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

　　3、元素对于集合的隶属关系

　　（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

　　（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

　　4、集合中元素的特性

　　（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可

　　（2）互异性：集合中的元素没有重复

　　（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

　　5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

　　⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写

　　三、练习题：

　　1、教材P5练习1、2

　　2、下列各组对象能确定一个集合吗？

　　（1）所有很大的实数（不确定）

　　（2）好心的人（不确定）

　　（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）

　　3、设a，b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_—2，0，2__

　　4、由实数x，－x，｜x｜，所组成的集合，最多含（ A ）

　　（A）2个元素（B）3个元素（C）4个元素（D）5个元素

　　5、设集合G中的元素是所有形如a＋b （a∈Z， b∈Z）的数，求证：

　　（1）当x∈N时， x∈G；

　　（2）若x∈G，y∈G，则x＋y∈G，而不一定属于集合G

　　证明（1）：在a＋b （a∈Z， b∈Z）中，令a=x∈N，b=0，则x= x＋0* = a＋b ∈G，即x∈G

　　证明（2）：∵x∈G，y∈G，

　　∴x= a＋b （a∈Z， b∈Z），y= c＋d （c∈Z， d∈Z）

　　∴x+y=（ a＋b ）+（ c＋d ）=（a+c）+（b+d）

　　∵a∈Z， b∈Z，c∈Z， d∈Z

　　∴（a+c） ∈Z，（b+d） ∈Z

　　∴x+y =（a+c）+（b+d） ∈G，

　　又∵ ＝且不一定都是整数，

　　∴ ＝不一定属于集合G

　　四、小结：本节课学习了以下内容：

　　1、集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于）

　　2、集合元素的性质：确定性，互异性，无序性

　　3、常用数集的定义及记法

高一数学教案14

　　（一）教学目标

　　1、知识与技能

　　（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集

　　（2）能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用。

　　（3）掌握的关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算。

　　2、过程与方法

　　通过对实例的分析、思考，获得并集与交集运算的法则，感知并集和交集运算的实质与内涵，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力

　　3、情感、态度与价值观

　　通过集合的并集与交集运算法则的发现、完善，增强学生运用数学知识和数学思想认识客观事物，发现客观规律的兴趣与能力，从而体会数学的应用价值

　　（二）教学重点与难点

　　重点：交集、并集运算的含义，识记与运用

　　难点：弄清交集、并集的含义，认识符号之间的区别与联系

　　（三）教学方法

　　在思考中感知知识，在合作交流中形成知识，在独立钻研和探究中提升思维能力，尝试实践与交流相结合

　　（四）教学过程

　　教学环节教学内容师生互动设计意图

　　提出问题引入新知思考：观察下列各组集合，联想实数加法运算，探究集合能否进行类似“加法”运算

　　（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}

　　（2）A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}、

　　师：两数存在大小关系，两集合存在包含、相等关系；实数能进行加减运算，探究集合是否有相应运算

　　生：集合A与B的元素合并构成C、

　　师：由集合A、B元素组合为C，这种形式的组合就是为集合的并集运算、生疑析疑，导入新知，形成概念

　　思考：并集运算、集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的，称C为A和B的并集

　　定义：由所有属于集合A或集合B的元素组成的.集合、称为集合A与B的并集；记作：A∪B；读作A并B，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}，Venn图表示为：

　　师：请同学们将上述两组实例的共同规律用数学语言表达出来、

　　学生合作交流：归纳→回答→补充或修正→完善→得出并集的定义、在老师指导下，学生通过合作交流，探究问题共性，感知并集概念，从而初步理解并集的含义

　　应用举例例1设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B

　　例2设集合A={x|–1

　　例1解：A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}

　　例2解：A∪B={x|–1

　　师：求并集时，两集合的相同元素如何在并集中表示、

　　生：遵循集合元素的互异性、

　　师：涉及不等式型集合问题、

　　注意利用数轴，运用数形结合思想求解、

　　生：在数轴上画出两集合，然后合并所有区间、同时注意集合元素的互异性、学生尝试求解，老师适时适当指导，评析

　　固化概念

　　提升能力

　　探究性质①A∪A=A，②A∪=A，③A∪B=B∪A，④∪B，∪B

　　老师要求学生对性质进行合理解释、培养学生数学思维能力

　　形成概念自学提要：

　　①由两集合的所有元素合并可得两集合的并集，而由两集合的公共元素组成的集合又会是两集合的一种怎样的运算？

　　②交集运算具有的运算性质呢？

　　交集的定义

　　由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集；记作A∩B，读作A交B

　　即A∩B={x|x∈A且x∈B}

　　Venn图表示

　　老师给出自学提要，学生在老师的引导下自我学习交集知识，自我体会交集运算的含义、并总结交集的性质

　　生：①A∩A=A；

　　②A∩=；

　　③A∩B=B∩A；

　　④A∩，A∩

　　师：适当阐述上述性质

　　自学辅导，合作交流，探究交集运算、培养学生的自学能力，为终身发展培养基本素质

　　应用举例例1（1）A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，C={8}、

　　（2）新华中学开运动会，设

　　A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B

　　例2设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系、学生上台板演，老师点评、总结

　　例1解：（1）∵A∩B={8}，∴A∩B=C、

　　（2）A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合、所以，A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}

　　例2解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合

　　（1）直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2={点P}；

　　（2）直线l1，l2平行可表示为

　　L1∩L2=；

　　（3）直线l1，l2重合可表示为

　　L1∩L2=L1=L2、提升学生的动手实践能力

　　归纳总结并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}

　　交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

　　性质：①A∩A=A，A∪A=A，②A∩=，A∪=A，③A∩B=B∩A，A∪B=B∪A、学生合作交流：回顾→反思→总理→小结

　　老师点评、阐述归纳知识、构建知识网络

　　课后作业1、1第三课时习案学生独立完成巩固知识，提升能力，反思升华

　　备选例题

　　例1已知集合A={–1，a2+1，a2–3}，B={–4，a–1，a+1}，且A∩B={–2}，求a的值

　　【解析】法一：∵A∩B={–2}，∴–2∈B，∴a–1=–2或a+1=–2，解得a=–1或a=–3，当a=–1时，A={–1，2，–2}，B={–4，–2，0}，A∩B={–2}

　　当a=–3时，A={–1，10，6}，A不合要求，a=–3舍去

　　∴a=–1、

　　法二：∵A∩B={–2}，∴–2∈A，又∵a2+1≥1，∴a2–3=–2，解得a=±1，当a=1时，A={–1，2，–2}，B={–4，0，2}，A∩B≠{–2}

　　当a=–1时，A={–1，2，–2}，B={–4，–2，0}，A∩B={–2}，∴a=–1

　　例2集合A={x|–1

　　（1）若A∩B=，求a的取值范围；

　　（2）若A∪B={x|x<1}，求a的取值范围

　　【解析】（1）如下图所示：A={x|–1

　　∴数轴上点x=a在x=–1左侧

　　∴a≤–1、

　　（2）如右图所示：A={x|–1

　　∴数轴上点x=a在x=–1和x=1之间

　　∴–1

　　例3已知集合A={x|x2–ax+a2–19=0}，B={x|x2–5x+6=0}，C={x|x2+2x–8=0}，求a取何实数时，A∩B与A∩C=同时成立？

　　【解析】B={x|x2–5x+6=0}={2，3}，C={x|x2+2x–8=0}={2，–4}

　　由A∩B和A∩C=同时成立可知，3是方程x2–ax+a2–19=0的解、将3代入方程得a2–3a–10=0，解得a=5或a=–2

　　当a=5时，A={x|x2–5x+6=0}={2，3}，此时A∩C={2}，与题设A∩C=相矛盾，故不适合、

　　当a=–2时，A={x|x2+2x–15=0}={3，5}，此时A∩B与A∩C=，同时成立，∴满足条件的实数a=–2

　　例4设集合A={x2，2x–1，–4}，B={x–5，1–x，9}，若A∩B={9}，求A∪B、

　　【解析】由9∈A，可得x2=9或2x–1=9，解得x=±3或x=5、

　　当x=3时，A={9，5，–4}，B={–2，–2，9}，B中元素违背了互异性，舍去、

　　当x=–3时，A={9，–7，–4}，B={–8，4，9}，A∩B={9}满足题意，故A∪B={–7，–4，–8，4，9}

　　当x=5时，A={25，9，–4}，B={0，–4，9}，此时A∩B={–4，9}与A∩B={9}矛盾，故舍去

　　综上所述，x=–3且A∪B={–8，–4，4，–7，9}、

高一数学教案15

　　教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。本课的教学重点是掌握常见幂函数的概念和性质，难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。

　　组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数，只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。

　　学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

　　教学目标：

　　㈠知识和技能

　　1、了解幂函数的概念，会画幂函数，的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。

　　2、了解几个常见的幂函数的性质。

　　㈡过程与方法

　　1、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

　　2、使学生进一步体会数形结合的思想。

　　㈢情感、态度与价值观

　　1、通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

　　2、利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。教学重点常见幂函数的概念和性质教学难点幂函数的单调性与幂指数的关系

　　教学过程

　　一、创设情景，引入新课

　　问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数）

　　问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a的函数。

　　问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积，这里V是a的函数。

　　问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长xx，这里a是S的函数

　　问题5：如果某人xxs内骑车行进了xxkm，那么他骑车的速度，这里v是t的函数。

　　以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？（右边指数式，且底数都是变量）这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题）

　　二、新课讲解

　　（一）幂函数的概念如果设变量为，函数值为xx，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的一般式吗？这就是幂函数的一般式，你能根据指数函数、对数函数的定义，给出幂函数的定义吗？xx幂函数的定义：一般地，我们把形如xx的函数称为幂函数（power function），其中xx是自变量，xx是常数。

　　【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念）

　　结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数

　　试一试：判断下列函数那些是幂函数（1）（2）（3）（4）我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？（研究图象和性质）

　　（二）几个常见幂函数的图象和性质在初中我们已经学习了幂函数x的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数x的图象吗？

　　【探究二】观察函数x的图象，将你发现的结论写在下表内。定义域，值域，奇偶性，单调性，定点，图象范围

　　【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：x的共同性质。

　　（1）函数x的图象都过点

　　（2）函数x在x上单调递增；

　　归纳：幂函数x图象的基本特征是，当x是，图象过点x，且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间x上是单调增函数。（演示几何画板制作课件：幂函数。asp）

　　请同学们模仿我们探究幂函数x图象的基本特征x的情况探讨x时幂函数x图象的基本特征。（利用drawtools软件作图研究）

　　归纳：xx时幂函数x图象的基本特征：过点x，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间x上是单调减函数，且向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。

　　（三）例题剖析

　　【例1】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。（1）（2）（3）

　　分析：根据你的学习经历，你觉得求一个函数的定义域应该从哪些方面来考虑？

　　方法引导：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域。

　　（1）若函数解析式中含有分母，分母不能为0；

　　（2）若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；

　　（3）0的.0次幂没有意义；

　　（4）若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0；求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组。

　　结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域。归纳分析如果判断幂函数的单调性（第一象限利用性质，其余象限利用函数奇偶性与单调性的关系）

　　【例2】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）

　　（1）________

　　（2）________

　　（3）__________

　　（4）____________

　　分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小

　　三、课堂小结

　　1、幂函数的概念及其指数函数表达式的区别

　　2、常见幂函数的图象和幂函数的性质。

　　四、布置作业

　　㈠课本第73页习题2.4

　　第1、2、3题