有关平行四边形教案范文集锦7篇
作为一名辛苦耕耘的教育工作者，就难以避免地要准备教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。写教案需要注意哪些格式呢？下面是小编帮大家整理的平行四边形教案7篇，希望对大家有所帮助。
平行四边形教案 篇1
教学内容：
人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》五年级上册第80、81页的内容。
教学目标：
1. 在理解的基础上掌握平行四边形的面积计算公式，能正确地计算平行四边形的面积；
2. 通过操作、观察、比较，发展学生的空间观念，渗透转化的思想方法，培养学生的分析、综合、抽象、概括和解决实际问题的能力。
教学重点：
掌握平行四边的面积计算公式，并能正确运用。
教学难点：
平行四边形面积计算公式的推导。
教学过程：
一、情境激趣
1．播放运载“嫦娥一号”探月卫星的火箭成功发射的录像。
2．师：为了纪念这个有意义的时刻，我们学校的小朋友们在数学活动上利用一些图形拼出了运载“嫦娥一号”的火箭模型呢！
3．（课件出示拼成的模型）让学生观察火箭模型是由哪些图形拼成的。
提问：如果比较这些图形的大小，要知道它们的.什么？哪些图形的面积是我们已经学过的？怎样求？
4．比较其中的长方形和平行四边形，谁的面积大，谁的面积小，可以用什么方法？（引导学生说出可以用数方格的方法。）
二、自主探究
1．数方格比较两个图形面积的大小。
（1）提出要求：每个方格表示1平方厘米，不满一格的都按半格计算。
（2）学生用数方格的方法计算两个图形的面积并填写书上80页表格。
（3）反馈汇报数的结果，得出：用数方格的方法知道了两个图形的面积一样大。
（4）提出问题：如果平行四边形很大，用数方格的方法麻烦，能不能找到一种方法来计算平行四边形的面积？
（5）观察表格，你发现了什么？
（6）引导学生交流发现并全班反馈得出：平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，平行四边形的面积和长方形的面积相等；平行四边形的面积等于底乘高。
（7）提出猜想：平行四边形的面积=底×高
2．操作验证。
（1）提出要求：请小朋友利用三角尺、剪刀，动手剪一剪拼一拼，把平行四边形想办法转变成我们已学过面积计算的图形，完成后和小组的同学互相交流自己的方法。
（2）学生分组操作，教师巡视指导。
（3）学生展示不同的方法把平行四边形变成长方形。
（4）利用课件演示把平行四边形变成长方形过程。
（5）观察并思考以下两个问题：
Ａ.拼成的长方形和原来的平行四边形比较，什么变了？什么没变？
B.拼成的长方形的长与宽分别与原来平行四边形的底和高有什么关系？
（6）交流反馈，引导学生得出：
A.形状变了，面积没变。
B.拼成的长方形，长与原来平行四边形的底相等，宽与原来平行四边形的高相等。
（7）根据长方形的面积公式得出平行四边形面积公式并用字母表示。
（8）活动小结：我们把平行四边形转变成了同它面积相等的长方形，利用长方形面积计算公式得出了平行四边的面积等于底乘高，验证了前面的猜想。
3.教学例1。
（1）（出示例1）平行四边形的花坛的底是6 m，高是4 m。它的面积是多少？
（2）学生独立完成并反馈答案。
三、看书质疑
四、课堂总结
通过这节课的学习，你有哪些收获？（学生自由回答。）
五、巩固运用
1．练习十五第1题，让学生独立完成后反馈答案。
2．你会计算下面平行四边形的面积吗？
3．你能想办法求出下面平行四边形的面积吗？
4．练习十五第3题。
六、全课小结（略）
平行四边形教案 篇2
1、本单元教材内容
例1．认识同一平面内两条直线的特殊位置关系：平行和垂直。
例2．学习画垂线，认识点到直线的距离。
例3．学习画平行线，理解平行线之间的距离处处相等。
例1．把四边形分类，概括出平行四边形和梯形的特征，探讨平行四边形和长方形、正方形的关系。
例2．认识平行四边形的不稳定性，认识平行四边形的底和高，学习画高，梯形的各部分名称。
2、重难点、关键
重点：垂直与平行的概念；平行四边形和梯形的特征。
难点：画垂线、画平行线、画长方形和正方形、画平行四边形和梯形的高。
关键：加强作图的训练和指导，重视作图能力的.培养。
3、教学目标
（1）使学生理解垂直与平行的概念，会用直尺、三角尺画垂线和平行线。
（2）使学生掌握平行四边形和梯形的特征。
（3）通过多种活动使学生逐步形成空间观念，进一步体会几何图形在日常生活中的广泛应用。
4、课时划分
6课时
（1）垂直与平行 3课时左右
（2）平行四边形和梯形 3课时左右
平行四边形教案 篇3
教学目标：
1、在联系生活实际和动手操作的过程中认识平行四边形，发现平行四边形的基本特征，认识平行四边形的高。
2、在活动中进一步积累认识图形的学习经验，学会用不同方法做出一个平行四边形，会在方格纸上画平行四边形，能正确判断一个平面图形是不是平行四边形，能测量或画出平行四边形的高。
3、感受图形与生活的联系，感受平面图形的学习价值，进一步发展对空间与图形的学习兴趣。
教学重点：进一步认识平行四边形，发现平行四边形的基本特征，会画高。
教学难点：引导学生发现平行四边形的特征。
教学准备：实物投影。
教学过程：
一、创设情境、导入新课。
1、出示长方形，谈话：老师手里问成的是什么图形？
学生：长方形
教师移动成平行四边形，谈话：仔细看，现在围成的是什么图形？
学生：平行四边形
揭题：今天我们进一步认识平行四边形（揭题）
[从学生熟悉的长方形渐变成平行四边形，既关注学生的原认知，又符合学生的认知规律，同时为后面发现平行四边形边的特点和比较长方形、平行四边形的异同点提供了铺垫]
2、教师谈话：同学们在生活中见到过平行四边形吗？
生1：我们校门口的移动门上有平行四边形；
生2：一种衣架是平行四边形；
生3：我家晒衣服的伸向外面的栏杆是平行四边形的；
生4：看，墙上那个图上有平行四边形；
谈话：只要你善于观察生活，其实生活中经常能看到平行四边形。出示挂图（电动移门、楼梯扶栏、篱笆），你能从中找出平行四边形吗？
学生上台指。
[通过让学生在生活实践中找平行四边形，比划出平行四边形的样子，挖掘学生对平行四边形的潜在表象认识，建立初步的感性表象。]
二、实践操作、探究特点。
1、谈话：同学们都认识了平行四边形，闭上眼睛在小脑袋里想一想平形四边形是什么样子的？好，脑子里有平行四边形样子了吗？如果老师让你做一个平行四边形，你准备怎么做？
学生思考。
2、学生用手头材料做，做完后交流：我是怎么做平行四边形的？教师巡视指导。
3、谈话：谁愿意上台来展示自己是怎么做的？
生1：我用钉子板围；
生2：我用小棒摆的；
生3：我用方格图上画；
生4：我是直接折的；
生5：我是用剪刀剪的；
4、谈话：同学们想出的办法真多，请同学们观察一下自己面前的平行四边形，它的边有什么共同特点呢？
小组交流：有什么发现？
5、交流汇报：
生1：我们小组觉得上下两条边可能平行；左右两条边可能平行。 （师板书：互相平行）
师：你是怎么发现的？
生1：我是看出来的，上下两条边延长后不相交；
师：其他小组发现这个特点了吗？你有办法证明吗？
生2：我们的平行四边形上下两条边延长后也不相交，我可以用画平行线方法证明，左右也一样；
师明确：上下两条边称为一组对边，左右一组对边，可以称两组对边。（板书：两组对边）
生3：我们可以用三角尺平移的办法证明对边是平行的。
小组讨论后提问并板书：两组对边互相平行。
生3：我们小组发现两组对边都是相等的？
师：你们听明白他的意思了吗？
生4：就是上下两条边相等，左右两条边相等。
师规范语言：你指的是两组对边分别相等，是吗？（板书）
谈话：其他小组发现这个特点了吗？你有办法证明吗？
生5：上下两个小棒长度相等，左右长度也相等；
生6：我上下拉出的都是3格，左右是2格，都是相等；
小结：通过以上研究，我们已经知道了平行四边形的特点：两组对边分别平行且相等。
5、教师在钉子板上围想想做做1，判断：哪些图形是平行四边形，为什么。
生1：1、3、4是平行四边形，因为他们符合平行四边形特点两组对边分别平行且 相等。
生2：2不是，因为它上下对边平行不相等，左右对边相等又不平行，所以不是平行四边形。
生3：2是梯形，所以不是平行四边形。
[学生经历制作平行四边形的过程，讨论、探究、发现平行四边形边的特点，学生交流自己的验证方法，并用发现的特点去判断图形是否平行四边形。经历制做研究发现应用的过程，符合学生的认识规律。]
三、认识高、底。
1、谈话：出示一张平行四边形的图，介绍：这是一个平行四边形，上下对边是一组平行线，你能量出两条平行线之间的距离吗？应该怎么量？把你量的线段画出来。
学生自己尝试后交流。教师指导明确平行线之间的.垂直线段就是平行线之间的距离。
2、老师刚才发现，大家画的垂直线段位置都不一样，你们想想这是为什么呢？这样的线段到底有多少条呢？（一组平行线之间的距离处处相等，有无数条。）
老师示范画一组的垂直线段，说明：在平行四边形里，一组对边之间的垂直线段就是平行四边形的高，而对边就是底。
3、学生自主看书上P44页，说一说：什么是平行四边形的高？什么是底？
[由复习平行线之间距离入手，让学生动手量、画，然后明确平形四边形高、底的含义，注重链接知识的最近发展区，符合学生的认知规律]
4、师出示实物平行四边形，指一指两组底边上的高。
5、找出底边上的高：（图略）
6、做书上试一试，量出底和高分别是多少？
(1)先指一指高垂直于哪条边；(2)量出每个平行四边形的底和高各是多少厘米。
7、想想做做5，先指一指平行四边形的底，再画出这条底边上的高，注意画上直角 标记。如果有错误，让学生说说错在哪里。
[平行四边形的高、底的认识是本课教学的难点，通过量平行线间的距离，使学生逐步认识平行四边形的高和底。在扎实认识了高和底的基础上，让学生经历指高、找高、量高、画高的过程，并通过变式，加深对知识点的掌握。]
四、练习提高。
1、谈话：课一开始，老师将长方形一拉变成平行四边形，现在老师再轻轻一移又变成了长方形，同学们观察一下，长方形和平行四边形哪里变了，哪里没变，讨论一下它们有什么相同点和不同点呢？
学生小组交流，集体汇报。
生1：相同点是它们的对边都是平行且相等；
生2 ：不同点是长方形的角都是直角，而平行四边形的角不是直角；
生3：平行四边形是长方形变形后产生的；
2、教师：平行四边形不改变边长的情况下可以改变成不同形状的平行四边形，这就是平行四边形的不稳定性。请同学看书上P45页你知道吗？
提问：说一说，生活中平行四边形的这种特点在哪些地方有应用？
生1：有种可以弹的那种拳击套；
生2：晒衣服的衣架；
生3：捕鱼的网；
五、实践游戏：
1、想想做做2，用2块、4块完全一样的三角尺分别拼成一个平行四边形，在小组里交流是怎样拼的。
2、想想做做3，用七巧板中的3块拼成一个平行四边形。
出示，你能移动其中的一块将它改拼成长方形吗？
3、想想做做4，想把一块平行四边形的木板锯开做成一张尽可能的的长方形桌面，该从 哪里锯开呢？找一张平行四边形纸试一试。
[练习设计既富有情趣，又让学生在活动中体验到所学平行四边形知识的价值，再次感悟到数学知识与现实生活的密切联系。]
六、全课小结
今天我们重点研究了哪种平面图形？它有什么特点？回想一下，我们通过哪些活动进行研究的？
[小结简明扼要，既突出本节课的知识重点，又提升了学生的认知策略。]
教学反思：
一、 激发原认知关注学生知识储备。
用发展的眼光来设计学习活动，让学生在探究中亲历知识形成的过程，远比让学生直接但却被动地获取现成知识结论要更加具有深远的意义和影响，学生的观察、猜想、探索和创新等其他各方面能力都能得到有效地开发和锻炼。纸上得来终觉浅。在体验中自身感悟的东西理解深刻、印象久远。对平行四边形的特征研究，我本着让学生亲历知识的形成过程的方法，让学生依据探究内容自己有序探究，自己量一量、比一比、想一想，从而得出平行四边形的特征，学生自然也得到了有效地学习。
二、重视过程把探究机会让给学生。
《课标》在基本理念中指出：数学教学活动，必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识。本课正是实践这种理念的一个典范，如我在教学中提供长短不一的塑料棒和钉字板，让学生根据印象中的平行四边形制作平行四边形，自主选择学具围成各种各样的平行四边形，其间学生既能采用最简单的4根塑料棒来围成，还有用钉字板围。操作的成功不但让学生对平行四边形原有认知表现外显，更让学生为下面进一步观察平行四边形边特点提供了素材，最重要的是提升学生灵活应用数学解决实际问题的策略与能力，并从中得到成功的体验，树立学习的信心。
平行四边形教案 篇4
【教学目标】
1、知识与技能：
探索与应用平行四边形的对角线互相平分的性质，理解平行线间的距离处处相等的结论，学会简单推理。
2、过程与方法：
经历探索平行四边形性质的过程，进一步发展学生的逻辑推理能力及有条理的表达能力。
3、情感态度与价值观：
在探索平行四边形性质的过程中，感受几何图形中呈现的数学美。让学生学会在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，享受运用知识解决问题的成功体验，增强学好数学的自信心。
【教学重点】：
探索并掌握平行四边形的对角线互相平分和平行线间的距离处处相等的性质。
【教学难点】：
发展合情推理及逻辑推理能力
【教学方法】：
启发诱导法，探索分析法
【教具准备】：多媒体课件
【教学过程设计】
第一环节回顾思考，引入新课
什么叫平行四边形?
平行四边形都有哪些性质?
利用平行四边形的性质，我们可以解决相关的计算问题。阿凡提是传说中很聪明的人。一天，财主巴依遇到阿凡提，想考一考聪明的.阿凡提，说：给你两块地，一块是平行四边形形状的(如下图，AB=10，OA=3，BC=8)，还有一块是边长是7的正方形EFGH土地，让你来选一下，哪一块面积更大?
[学生活动]此时，学生的积极性被调动起来，努力试图寻找各种途径来求平行四边形的面积，但找不到合适的解决办法.
[教学内容]教师乘机引出课题，明确学习任务.
第二环节探索发现，应用深化
1、做一做：(电脑显示P100“做一做”的内容)
如图4-2，□ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，
(1)图中有哪些三角形是全等的?有哪些线段是相等的?
(2)能设法验证你的猜想吗?
[教师活动]教师将前后四名同学分成一组，学生拿出事先准备好的平行四边形及实验工具(刻度尺、剪刀、图钉)，尝试在交流合作中动手探究平行四边形的对角线有何性质.
2、观察、讨论：(小组交流）
通过以上活动，你能得到哪些结论?并由各小组派学生表述看法。
[教师活动]探究结束后，分组展示结果，教师利用课件展示“旋转法”的实验过程，增强教学的直观性.
结论：平行四边形的对角线互相平分。
[教师活动]“实验都是有误差的，我们能否对此进行理论证明?”
[学生活动]此问题难度不大.
[教师活动]教师让学生口述证明过程.最后师生共同归纳出“平行四边形的对角线互相平分”这条性质.
活动二
刚才财主巴依提出的问题你能解决吗?
学生口述过程，教师最后给出规范的解题过程。
练一练：
财主不服气，又想考阿凡提，说过点O做一直线EF，交边AD于点E，交BC于点F.直线EF绕点O旋转的过程中(点E与A、D不重合)，你能知道这里有多少对全等三角形吗?
[教师活动]此处组织学生抢答，互相补充完善后，学生答出了全部的全等三角形.
活动三
电脑显示P101关于铁轨的图片
提出问题：“想一想”
已知，直线a//b，过直线a上任两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，点D，如图，
(1)线段AC，BD所在直线有什么样的位置关系?
(2)比较线段AC，BD的长。
引出平行线间距离的概念，并引导学生对比点到直线的距离，两点间距离等概念。
(让学生进一步感知生活中处处有数学)
A.(学生思考、交流)
B.(师生归纳)
解(1)由AC⊥b，BD⊥b，得AC//BD。
(2)a//b，AC//BD，→四边形ACDB是平行四边形
→AC=BD
归纳：
若两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离。
即平行线间的距离相等。
[议一议]：
举你能举出反映“平行线之间的垂直段处处相等实例吗”?
活动目的：
通过生活中的实例的应用，深化对知识的理解。
第三环节巩固反馈，总结提高
1、说一说下列说法正确吗
①平行四边形是轴对称图形()
②平行四边形的边相等()
③平行线间的线段相等()
④平行四边形的对角线互相平分()
2、已知,平行四边形ABCD的周长是28，对角线AC，BD相交于点O，且△OBC的周长比△OBA的周长大4，则AB=
3、已知P为平行四边形ABCD的边CD上的任意点，则△APB与平行四边形ABCD的面积比为
4、平行四边形ABCD中，AC，DB交于点O，AC=10。DB=12，则AB的取值范围是什么?
5、平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，OA，OB，AB的长度分别为3cm、4cm、5cm，求其它各边以及两条对角线的长度。
第四环节评价反思，目标回顾
活动内容：
本节课你有哪些收获?你能将平行四边形的性质进行归纳吗?
[布置作业]：
P102习题4.21，2，3
探究题已知如下图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且BE∥DF.求证：BE=DF
平行四边形教案 篇5
一、学习目标
１、经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力。
2、 会进行简单的多项式与多项式的乘法运算
二、学习过程
（一）自学导航
1、创设情境
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米，用两种方法表示这块林区现在的面积。
这块林区现在的长为 米，宽为 米。因而面积为________米2。
还可以把这块林地分为四小块，它们的面积分别为 米2， 米2，_______米2， 米2。故这块地的面积为 。
由于这两个算式表示的都是同一块地的面积，则有 =
如果把（m+n）看作一个整体，你还能用别的方法得到这个等式吗？
2、概括：
多项式乘以多项式的法则：
3、计算
（1） （2）
4、练一练
（1）
（二）合作攻关
1、某酒店的厨房进行改造，在厨房的中间设计一个准备台，要求四面的过道宽都为x米，已知厨房的长宽分别为8米和5米，用代数式表示该厨房过道的总面积。
2、解方程
（三）达标训练
1、填空题：
（1） = =
（2） = 。
2、计算
（1） （2）
（3） (4)
（四）提升
1、怎样进行多项式与多项式的乘法运算？
2、若 的乘积中不含 和 项，则a= b=
应用题
第三十五讲 应用题
在本讲中将介绍各类应用题的解法与技巧．
当今数学已经渗入到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点．
应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心．
解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型．其求解程序如下：
在初中范围内常见的数学模型有：数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等．
例题求解
一、用数式模型解决应用题
数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法．
【例1】(20xx年安徽中考题)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示：
景点ABCDE
原价（元）1010152025
现价（元）55152530
平均日人数（千人）11232
（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。问风景区是怎样计算的？
（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。问游客是 怎样计算的？
（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？
思路点拨 （1）风景区是这样计算的：
调整前的平均价格： ，设整后的平均价格：
∵调整前后的平均价格不变，平均日人数不变．
∴平均日总收入持平．
（ 2）游客是这样计算的：
原平均日总收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）
现平均日总收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）
∴平均日总收入增加了
（3）游客的说法较能反映整体实际．
二、用方程模型解应用题
研究和解决生产实际和现实生恬中有关问题常常要用到方程<组)的知识，它可以帮助人们从数量关系和相等关系的角度去认识和理解现实世界．
【例2】 (重庆中考题)某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4mln内可以通过800名学生．
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?
(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20％．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5min内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门整否符合安全规定?请说明理由．
思路点拨 列方程(组)的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量．设未知数时一般问什么设什么．“符合安全规定”之义为最大通过量不小于学生总数．
(1)设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，由题意得：
,解得：
(2)这栋楼最多有学生4×8×4 5=1440(名)．
拥挤时5min4道门能通过．
5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),
因1600>1440，故建造的4道门符合安全规定．
三、用不等式模型解应用题
现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确定某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较清楚的认识．
【例3】 (苏州中考题)我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内月平均的风速不小于3m／s的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m／s的时间占60天．为了充分利用“风能”这种“绿色资源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A、B两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：一天的发电量)如下表：
日平均风速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6
日发电量 (千瓦?时)A型发电机O≥36≥150
B型发电机O≥24≥90
根据上面的数据回答：
(1)若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为 千瓦?时；
(2)已知A型风力发电机每台O.3万元，B型风力发电机每台O.2万元．该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000千瓦?时，请你提供符合条件的购机方案．
根据上面的数据回答：
思路点拨 (1) (100×36+60×150)x=12600x；
(2)设购A型发电机x台，则购B型发电机(10—x)台,
解法一根据题意得：
解得5≤x ≤6．
故可购A型发电机5台，B型发电机5台；或购A型发电机6台，B型发电视4台．
四、用函数知识解决的应用题
函数类应用问题主要有以下两种类型：(1)从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系；(2)由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式．
【例4】 (扬州)杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点．对经营的某种晚报，杨嫂提供丁如下信息：
①买进每份0.20元，卖出每份0.30元；
②一个月内(以30天计)，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；
③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同．当天卖不掉的报纸，以每份0.10元退回给报社；
(1)填表：
一个月内每天买进该种晚报的份数100150
当月利润(单位：元)
(2)设每天从报社买进该种晚报x份，120≤x≤200时，月利润为y元，试求出y与x的函数关系式，并求月利润的最大值．
思路点拨(1)填表：
一个月内每天买进该种晚报的份数100150
当月利润(单位：元)300390
(2)由题意可知，一个月内的20天可获利润：
20×=2x(元)；其余10天可获利润：
10=240—x(元)；
故y=x+240，(120≤x≤200)， 当x=200时，月利润y的最大值为440元．
注 根据题意，正确列出函数关系式，是解决问题的关键，这里特别要注意自变量x的取值范围．
另外，初三还会提及统计型应用题，几何型应用题．
【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．
(2)如果请甲工程队施工，公司每日需付费用200 0元；如果请乙工程队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程；B．请乙队单独完成此项工 程； C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上方案哪一种花钱最少?
思路点拨 这是一道策略优选问题．工程问题中：工作量=工作效率×工时．
(1)设乙工程队单独完成此项工程需x天，根据题意得：
, x=30合题意，
所以，甲工程队单独完成此项工程需用20天，乙队需30天．
(2)各种方案所需的费用分别为：
A．请甲队需20xx×20=40000元；
B．请乙队需1400×30=4200元；
C．请甲、乙两队合作需(20xx+1400)×12=40800元．
所队单独请甲队完成此项工程花钱最少．
【例6】 (2全国联赛初赛题)一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队的生态区考察了多少天?
思路点拨 挖掘题目中隐藏条件是关键!
设考察队到 生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，则x+y+z=60，
17x－25y=－1，即25y－17x=1． ①
这里x、y是正整数，现设 法求出①的'一组合题意的解，然后计算出z的值．
为此，先求出①的一组特殊解(x0，y0)，(这里x0，y0可以是负整数)．用辗转相除法．
25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．
与①的左端比较可知，x0 =－3，y0=－2．
下面再求出①的合题意的解．
由不定方程的知识可知，①的一切整数解可表示为x=－3+25t，y=－2+17t，
∴ x+y=42t－5，t为整数．按题意0 ∴z=60—(x+y)=23． 答：考察队在生态区考察的天数是23天． 注 本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不定方程来解，希读者仔细咀嚼所用方法． 【例7】 (江苏省第17届初中竞赛题)华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下： (1)若一次购物少于200元，则不予优惠； (2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； (3)若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折 优惠． 小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元．现在小亮决定一次去购 买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少? 思路点拨 应付198元购物款讨论： 第一次付款198元，可是所购物品的实价，未 享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款．故应分两种情况加以讨论． 情形1 当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元 ． 又554=450+104，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱；104÷0. 8 =130(元)． 因此，554元所购物品的原价为130+500=630(元)，于是购买小呀花198 +630=828(元)所购的全部物品，小亮一次性购买应付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）． 情形2 当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的讨论，，购220+630=850{元}物品一次性付款应为500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)． 综上所述，小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品，应付款712.40元或730元 【例8】 (20xx年全国数学竞赛题)某项工程，如果由甲、乙两队承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙两队承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2 天完成，需付160000元．现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少? 思路点拨 关键问题是甲、乙、丙单独做各需的天数及独做时各方日付工资．分两个层次考虑： 设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成． 则 ，解得 再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元， 则 ，解得 于是，由甲队单独承包，费用是45500×4=182000 (元)． 由乙队单独承包，费用是29500×6= 177000 (元)． 而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少． 学历训练 （A级） 1．(河南)在防治“SARS”的战役中，为防止疫情扩散，某制药厂接到了生产240箱过氧乙酸消毒液的任务．在生产了60箱后，需要加快生产，每天比原来多生产15箱，结果6天就完成了任务．求加快速度后每天生产多少箱消毒液? 2．(山东省竞赛题)某市为鼓励节约用水，对自来水妁收费标准作如下规定：每月每户用水中不超过10t部分按0.45元／吨收费；超过10t而不超过20t部分按每吨0.8元收费；超过20t部分按每吨1.50元收费，某月甲户比乙户多缴水费7.10元，乙户比丙户多缴水费3.75元，问甲、乙、丙该月各缴水费多少?(自来水按整吨收费) 3．(江苏省竞赛题)甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题．试问：难题多还是容易题多?多的比少的多几道题? 4．某人从A地到B地乘坐出租车有两种方案，一种出租车收费标准是起步价10元，每千米1.2元；另一种出租车收费标准是起步价8元，每千米1.4元，问选择哪一种出租车比较合适? (提示：根据目前出租车管理条例，车型不同，起步价可以不同，但起步价的最大行驶里程是相同的，且此里程内只收起步价而不管其行驶里程是多少) （B级） 1．(全国初中数学竞赛题)江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40min可抽完；如果用4台抽水机抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水机 台． 2．(希望杯)有一批影碟机(VCD)原售价：800元／台．甲商场用如下办法促销： 购买台数1~5台6~10台11~15台16~20台20台以上 每台价格760元720元680元640元600元 乙商场用如下办法促销：每次购买1~8台，每台打九折；每次购买9~16台，每台打八五折； 每次购买17~24台，每台打八折；每次购买24台以上，每台打七五折． （1）请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表； (2)现在有A、B、C三个单位，且单位要买10台VCD，B单位要买16台VCD，C单位要买20台VCD，问他们到哪家商场购买花费较少? 3．(河北创新与知识应用竞赛题)某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币要多于2分的硬币．请你据此设计兑换方案． 4．从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶)，如果男孩和女孩都做匀速运动且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍，已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达扶梯顶部(设男孩、女孩每次只踏—级)．问： (1)扶梯露在外面的部分有多少级? (2)如果扶梯附近有一从二楼到一楼的楼梯，楼梯的级数和扶梯的级数相等，两孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘扶梯(不考虑扶梯与楼梯间距离)则男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶? 5．某化肥厂库存三种不同的混合肥，第一种 含磷60％，钾40％，第二种含钾10％，氮90％；第三种含钾50％，磷20％，氮30％，现将三种肥混合成含氮45％的混合肥100?(每种肥都必须取)，试问在这三种不同混合肥的不同取量中，新混合肥含钾的取值范围． 6．(黄冈竞赛题)有麦田5块A、B、C、D、E，它们的产量，(单位：吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图21-2所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生产的麦子都在此打场．问建在哪快麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a、b、d表示距离，且b < a 多边形的边角与对角线 j.Co M 第十四讲 多边形的边角与对角线 边、角、对角线是多边形中最基本的概念，求多边形的边数 、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题，常用到三角形内角和、多边形内、外角和定理、不等式、方程等知识． 多边形 的内角和定理反映出一定的规律性：(n－2)×180°随n的变化而变化；而多边形的外角和定理反映出更本质的规律；360°是一个常数，把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形有关问题的常用技巧． 将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法，从凸 边形的一个顶点引出的对角线把 凸 边形分成 个多角形，凸n边形一共可引出 对角线． 例题求解 【例1】在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为20xx°，则这个多边形的边数是 ． (江苏省竞赛题) 思路点拨 设除去的角为°，y°，多边形的边数 为 ，可建立关于x、y的不定方程；又0° 链接 世界上的万事万物是一个不断地聚合和分裂的过程，点是几何学最原始的概念，点生线、线生面、面生体，几何元素的聚合不断产生新的图形，另一方面，不断地分割已有的图形可得到新的几何图形，发现新的几何性质，多边形可分成三角形，三角形可以合成其他 一些几何图形． 【例2】 在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是( ) A．0 B．1 C．3 D．5 (全国初中数学竞赛题) 思路点拨 多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角和却总是不变的，因此，可把内角为锐角的个数讨论转化为 外角为钝角的个数的探讨． 【例3】 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗?画出所拼四边形的示意图(标出图中直角)，并分别写出所拼四边形的对角线的长． (乌鲁木齐市中考题) 思路点拨 把动手操作与合情想象相结合 ，解题的关键是能注意到重合的边作为四边形对角线有不同情形． 注 教学建模是当今教学教育、考试改革最热门的一个话题，简单地说，“数学建模”就是通过数学化(引元、画图等)把实际问题特化为一个数学问题，再运用相应的数学知识方法(模型)解决问题． 本例通过设元，把“没有重叠、没有空隙”转译成等式，通过不定方程求解． 【例4】 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)，这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形． (1)请根据下列图形，填写表中空格： (2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形? (3)从正三角形、正四边形，正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面 图形?说明你的理由． (陕西省中考题) 思路点拨 本例主要研究两个问题：①如果限用一种正多边形镶嵌，可选哪些正多边形；②选用两种正多边形镶嵌，既具有开放性，又具有探索性．假定正n边形满足铺砌要求，那么在它的顶点接合的地方，n个内角的和为360°，这样，将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解． 【例5】 如图，五边形ABCDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形A'B'C'D'E'． （1）图中5块阴影部分即四边形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一个五边形吗?说明理由． (2)证明五边形A'B'C'D'E'的周长比五边形ABCD正的周长至少增加25个单位． (江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)5块阴影部分要能拼成一个五边形须满足条件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三点分别共线；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周长等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圆的周长逼近估算． 1．如图，用硬纸片剪一个长为16cm、宽为12cm的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 ?，周长最小的是 cm． (选6《荚国中小学数学课程标准》) 2．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ． 3．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，则线段AD的取值范围是 ． 4．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案： (1)第4个图案中有白色地面砖 块； (2)第n个图案中有白色地面砖 块． (江西省中考题) 5．凸n边形中有且仅有两个内角为钝角，则n的最大值是( ) A．4 B．5 C． 6 D．7 ( “希望杯”邀请赛试题) 6．一个凸多边 形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( ) A．9条 B．8条 C．7条 D． 6条 7．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖( ) A．216块 B．288块 C．384块 D．512块 ( “希望杯”邀请赛试题) 8．已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含有30°角的直角三角形，现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD． （1）)画出四边形ABCD； (2)求出四边形ABCD的对角线BD的长． (上海市闵行区中考题) 9．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度数． (北京市竞赛题) 10．如图，在五边形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的对边A3A4的中点，连结A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线，如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分，求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行． (安徽省中考题) 11．如图，凸四边形有 个；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ． (重庆市竞赛题) 12．如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它们的和等于 ；若延长凸n边形(n≥5)的各边相交，则得到的n个角的和等于 ． ( “希望杯”邀请赛试题) 13．设有一个边长为1的正三角形，记作A1(图a)，将每条边三等分，在中间的线段上向外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2(图b)，再将每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3(图c)；再将每条边三 等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么，A4的周长是 ；A4这个多边形的面积是原三角形面积的 倍． (全国初中数学联赛题) 14．如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA—CD=3，则BC+DC= ． (北京市竞赛题) 15．在一个n边形中，除了一个内角外，其余(n一1)个内角的和为2750°，则这个内角的度数为( ) A．130° D．140° C ．105° D．120° 16．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，则CD的长为( ) A．4 B．4 C．3 D． 3 (江苏省竞赛题) 注 按题中的方法'不断地做下去，就会成为下图那样的图形，它的边界有一个美丽的名称——雪花曲线或 科克曲线(瑞典数学家)，这类图形称为“分形”，大量的物理、生物与数学现象都导致分形，分形是新兴学科“混沌”的重要分支． 17．如图，设∠CGE=α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( ) A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α (山东省竞赛题) 18．平面上有A、B，C、D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°． 19．一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖，如果用较小的相同正方形地砖，那么需n+76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n及地砖的边长都是整数，求n． (上海市竞赛题) 20．如图，凸八边形ABCDEFGH的8 个内角都相等，边AB、BC、CD、DE、EF、FG的长分别为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长． 21．如图l是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下(这里的A、B、C、D各点都是活动的)，活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来． 如果已知四边形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多长时，才能实现上述的折叠变化? (淄博市中考题) 22．一个凸n边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸n边形各个内角的大小，并画出这样的 凸n边形的草图． 图形的平移与旋转 前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科． 几何变换是指把一个几何图形Fl变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换． 如图1，若把平面图形Fl上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换． 平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等． 如图2，若把平面图Fl绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由Fl到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角． 旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等． 通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决． 注 合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变． 例题求解 【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD= ． 思路点拨 通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形． 【例2】 如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN= x，DN=n，则以线 段x、m、n为边长的三角形的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变 思路点拨 把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、 x、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可． 注 下列情形，常实施旋转变换： (1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°； (2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形； (3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合． 【例3】 如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求证：该六边形的各角相等． (全俄数学奥林匹克竞赛题) 思路点拨 设法将复杂的条件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换． 注 平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决． 【例4】 如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1． (西安市竞赛题) 思路点拨 本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中． 注 三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识： (1)两点间线段最短，垂线段最短； (2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【例5】 如图，等边△ABC的边长为 ，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的长． (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 题设条件满足勾股关系PA2+PB2＝PC2的三边PA、PB、PC不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关 键． 学历训练 1．如图，P是正方形ABCD内一点，现将△ABP绕点B顾时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ． 2．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB=8，PC＝10，则∠APB ． 3．如图，四边形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，则CD的长为 ． 4．如图，把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB= ，则此三角形移动的距离AA'是( ) A． B． C．l D． (20xx年荆州市中考题) 5．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点C、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF= S△ABC；④EF=AP． 当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有( ) A．1个 B．2个 C ．3个 D．4个 (20xx年江苏省苏州市中考题) 6．如图，在四边形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四边形ABCD d=8，则BE的长为( ) A．2 B．3 C ． D． (20xx年武汉市选拔赛试题) 7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为 和 ，对角线BD、FH都在直线 上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线 上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化． (1)计算：O1D= ，O2F= ； (2)当中心O2在直线 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ； (3)随着中心O2在直线 上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)． (徐州市中考题) 8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直 方向的边长均为b）： 在图a中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）； 在图b中， 将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）； （1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影； （2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，,S2= ，S3= ； （3）联想与探索： 如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的． (20xx年河北省中考题) 9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN＝BM． 说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求： (1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)． (2)在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论． 10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm2． 11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是 ． (绍兴市中考题) 12．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( ) A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．无法确定 13．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为( ) A． B． C ．5 D．6 (20xx年武汉市选拔赛试题) 14．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC 延长线上一点，BD=CE，连DE，求证：DE>DC． 15．如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满 ，求△ABC的面积． 16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离为40米，B到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A、B两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A、B两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A、D两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题) 17．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离都等于1，将△ABC绕 点O顺时针旋转45°，得△A1BlC1 ，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ． (1)证明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形； (2)求△ABC与△A1BlC1公共部分的面积． (山东省竞赛题) 18．(1)操作与证明：如图1，O是边长为a的正方形ACBD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值． (2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转， 当扇形纸板的圆心角为 时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a． (3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为 时，正n边形的边被纸板覆盖部分 的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由． 【学习目标】 1、平行四边形性质(对角线互相平分) 2、平行线之间的距离定义及性质 【新课探究】 活动一： 如图，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O. (1)图中有哪些三角形是全等的?有哪些线段是相等的? (2)想办法验证你的猜想? (3)平行四边形的性质：平行四边形的对角线 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形(已知) ∴AO==AC，BO==BD() 活动二：如图,直线∥,过直线上任意两点A,B分别向直线做垂线,交直线与点C,点D. (1)线段AC,BD有怎样的位置关系? (2)比较线段AC,BD的长短. (3)若两条直线互相平行,,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的`距离,这个距离称为平行线之间的距离。平行线之间的垂线段处处. 【知识应用】 1.已知□ABCD的两条对角线相交于点O，OA=5，OB=6，则AC=，BD= 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，DB⊥AD，求BC，CD及OB,OA的长. 3.已知□ABCD中，AB=12，BC=6，对边AD和BC的距离是4，则对边AB和CD间的距离是 【当堂反馈(小测)】： 1、平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，OA，OB，AB的长度分别为3cm、4cm、5cm，求其它各边以及两条对角线的长度。 2、如图，在□ABCD中，，已知∠ODA=90°，OA=6cm，OB=3cm，求AD、AC的长 3、如图，在□ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为(x+3)cm,(x-4)cm,16cm,这个平行四边形的周长是多少? 【巩固提升】 1.平行四边形的两条对角线 2、已知□ABCD的两条对角线相交于点O，OA=5，OB=6，则AC=，BD= 3、已知□ABCD中，AB=8，BC=6，对边AD和BC的距离是2，则对边AB和CD间的距离是 4、下列性质中，平行四边形不一定具备的是() A、对角互补B、邻角互补C、对角相等D、内角和是360° 5、下列说法中，不正确的是() A、平行四边形的对角线相等B、平行四边形的对边相等 C、平行四边形的对角线互相平分D、平行四边形的对角相等 6、如图，在□ABCD中，，已知∠BAC=90°，OB=8cm，OA=4cm，求AB、BC的长 7、如图，已知□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△AOD的周长是80cm，已知AD的长是35cm，求AC+BD的长。 8、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。 (1)写出图中每一对你认为全等的三角形; (2)选择(1)中的任意一对进行证明。 9.对角线可以将平行四边形分成全等的两部分，这样的直线还有很多。 (1)多做几条这样的直线，看看它们有什么共同的特征 (2)试着用旋转的有关知识解释你的发现。 教学目标： 1．使学生在理解的基础上掌握平行四边形面积的计算公式，并会运用公式正确地计算平行四边形的面积． 2．通过操作、观察、比较，发展学生的空间观念，培养学生运用转化的思考方法解决问题的能力和逻辑思维能力． 3．对学生进行辩诈唯物主义观点的启蒙教育． 教学重点：理解公式并正确计算平行四边形的面积． 教学难点：理解平行四边形面积公式的推导过程． 学具准备：每个学生准备一个平行四边形。 教学过程： 一、导入新课 1、什么是面积？ 2、请同学翻书到80页，请观察这两个花坛，哪一个大呢？假如这块长方形花坛的长是3米，宽是2米，怎样计算它的面积呢？根据长方形的面积=长宽（板书），得出长方形花坛的面积是6平方米，平行四边形面积我们还没有学过，所以不能计算出平行四边形花坛的面积，这节课我们就学习平行四边形面积计算。 二、民主导学 （一）、数方格法 用展示台出示方格图 1、这是什么图形？（长方形）如果每个小方格代表1平方厘米，这个长方形的面积是多少？（18平方厘米） 2、这是什么图形？（平行四边形）每一个方格表示1平方厘米，自己数一数是多少平方厘米？ 请同学认真观察一下，平行四边形在方格纸上出现了不满一格的，怎么数呢？可以都按半格计算。然后指名说出数得的结果，并说一说是怎样数的。 2、请同学看方格图填80页最下方的表，填完后请学生回答发现了什么？ 小结：如果长方形的长和宽分别等于平行四边形的底和高，则它们的面积相等。 （二）引入割补法 以后我们遇到平行四边形的地、平行四边形的零件等等平行四边形的东西，都像这样数方格的方法来计算平行四边形的面积方不方便？那么我们就要找到一种方便、又有规律的计算平行四边形面积的方法。 （三）割补法 1、这是一个平行四边形，请同学们把自己准备的平行四边形沿着所作的高剪下来，自己拼一下，看可以拼成我们以前学过的什么图形？ 2、然后指名到前边演示。 3、教师示范平行四边形转化成长方形的过程。 刚才发现同学们把平行四边形转化成长方形时，就把从平行四边形左边剪下的直角三角形直接放在剩下的梯形的右边，拼成长方形。在变换图形的位置时，怎样按照一定的规律做呢？现在看老师在黑板上演示。 ①先沿着平行四边形的高剪下左边的直角三角形。 ②左手按住剩下的梯形的右部，右手拿着剪下的直角三角形沿着底边慢慢向右移动。 ③移动一段后，左手改按梯形的左部。右手再拿着直角三角形继续沿着底边慢慢向右移动，到两个斜边重合为止。 请同学们把自己剪下来的直角三角形放回原处，再沿着平行四边形的底边向右慢慢移动，直到两个斜边重合。（教师巡视指导。） 4、观察（黑板上在剪拼成的长方形左面放一个原来的平行四边形，便于比较。） 您现在正在阅读的五年级上册《平行四边形的面积》教学设计文章内容由收集!本站将为您提供更多的精品教学资源!五年级上册《平行四边形的面积》教学设计①这个由平行四边形转化成的长方形的面积与原来的平行四边形的面积比较，有没有变化？为什么？ ②这个长方形的长与平行四边形的.底有什么样的关系？ ③这个长方形的宽与平行四边形的高有什么样的关系？ 教师归纳整理：任意一个平行四边形都可以转化成一个长方形，它的面积和原来的平行四边形的面积相等，它的长、宽分别和原来的平行四边形的底、高相等。 5、引导学生总结平行四边形面积计算公式。 这个长方形的面积怎么求？（指名回答后，在长方形右面板书：长方形的面积＝长宽） 那么，平行四边形的面积怎么求？（指名回答后，在平行四边形右面板书：平行四边形的面积＝底高。） 6、教学用字母表示平行四边形的面积公式。 板书：S＝ah 说明在含有字母的式子里，字母和字母中间的乘号可以记作，写成ah，也可以省略不写，所以平行四边形面积的计算公式可以写成S＝ah，或者S＝ah。 （6）完成第81页中间的填空。 7、验证公式 学生利用所学的公式计算出方格图中平行四边形的面积和用数方格的方法求出的面积相比较相等 ，加以验证。 条件强化：求平行四边形的面积必须知道哪两个条件？（底和高） 三、检测导结 1、学生自学例１后，教师根据学生提出的问题讲解。 2、判断，并说明理由。 (1)两个平行四边形的高相等，它们的面积就相等() (2)平行四边形底越长，它的面积就越大() 3、做书上82页2题。 4、小结 今天，你学会了什么？怎样求平行四边形的面积?平行四边形的面积计算公式是怎样推导的? 5、作业 练习十五第1题。 附：板书设计 平行四边形面积的计算 长方形的面积＝长宽 平行四边形的面积＝底高 S=ah S=ah或S=ah 【平行四边形教案】相关文章： 平行四边形教案08-10 平行四边形面积教案02-09 平行四边形教案优秀08-29 《平行四边形的认识》教案03-15 平行四边形面积教案02-29 平行四边形的面积教案07-17 《认识平行四边形》教案05-28 平行四边形的认识教案07-30 《平行四边形的认识》教案07-09 平行四边形的面积教案06-18平行四边形教案 篇6
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