任意角的三角函数说课稿

时间：2022-07-02 17:09:59 说课稿我要投稿

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任意角的三角函数说课稿

　　作为一无名无私奉献的教育工作者，编写说课稿是必不可少的，借助说课稿可以让教学工作更科学化。优秀的说课稿都具备一些什么特点呢？下面是小编帮大家整理的任意角的三角函数说课稿，仅供参考，大家一起来看看吧。

任意角的三角函数说课稿

任意角的三角函数说课稿1

　　各位领导，各位老师：

　　我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》④（必修）第1。2。1节。

　　一、教材结构与内容简析

　　本节内容在全书及章节的地位：三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。

　　三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。

　　数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示尝试类比、数形结合等数学思想方法。

　　二、教学重点、难点、关键

　　教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。

　　教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

　　教学关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（ α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）。

　　三、学情分析

　　学生已经掌握的内容及学生学习能力

　　1。学生在初中时已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。

　　2。学生的运算能力较差。

　　3。部分同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。

　　4。在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。

　　四、教学目标

　　根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标：

　　1。基础知识目标：使学生正确理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；

　　2。能力训练目标：通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力。

　　3。情感目标：通过学习，渗透数形结合和类比的数学思想，培养学生良好的思维习惯。

　　下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

　　五、教学理念和方法

　　教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、合作交流、师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

　　根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学教法，在课堂结构上，设计了 ①创设情境——揭示课题②推广认知——形成概念③巩固新知——探求规律④总结反思——提高认识⑤任务后延——自主探究五个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。接下来，我再具体谈一谈这堂课的教学过程：

　　六、教学程序及设想

　　总体来说，由旧及新，由易及难，逐步加强，逐步推进，给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识，拓展、完善定义。

　　先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义，过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义。

　　（一）创设情境——揭示课题

　　问题1：在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？

　　【设计意图】学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）。温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少。

　　问题 2：角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗？

　　问题 3：若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

　　留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。

　　能表示吗？怎样表示？针对刚才的问题点名让学生回答。用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数。

　　【设计意图】

　　从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程。

　　教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

　　师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）。

　　问题 4：对于确定的角，这三个比值是否与P在的终边上的位置有关？为什么？

　　先让学生想象思考，作出主观判断，再引导学生观察右图，

　　联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，

　　六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。

　　得出结论（强调）：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数。

　　（二）推广认知——形成概念

　　将锐角的比值情形推广到任意角α后，水到渠成，师生共同进行探索和推广出：任意角的三角函数定义。同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数，对数学学习能力较好的同学起到了很好的指导作用。

　　教师指出： sinα、csα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，ctα、cscα、secα的定义域不要求记忆。

　　（关于值域，到后面再学习）。

　　【设计意图】定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域。指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握。

　　（三）巩固新知——探求规律

　　为了使学生达到对知识的深化理解，进而达到巩固提高的效果，

　　例1。已知角的终边过点，求的六个三角函数值

　　要求：读完题目，思考：计算什么？需要准备什么？闭目心算，对照板书，模仿书面表达格式。

　　巩固定义之后，我特地设计了一组即时训练题，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动，培养学生分析解决问题的能力。

　　例2。求的正弦、余弦和正切值。

　　分析：终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）

　　师生探索：紧扣三角函数定义求解，首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢？取定哪一点呢？任意点、还是特殊点？要灵活，只要能够算出三角函数值，都可以。

　　取特殊点能使计算更简明。

　　等待学生基本理解和掌握三角函数定义后，观察、分析初、高中所计算的函数值有何变化，让学生意识到三角函数值的正负与角所在象限有关，然后引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，从而导出三角函数值的正负与角所在象限的关系，进而由教师总结符号记忆方法，便于学生记忆。

　　【设计意图】判断三角函数值的`正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求。要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的“才”字符号法则，这也是理解和记忆的关键。

　　（四）总结反思——提高认识

　　由学生总结本节课所学习的主要内容：⑴任意角的三角函数的定义及其定义域；⑵三角函数的符号规律。让学生通过知识性内容的小结，把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。

　　（五）任务后延——自主探究

　　学生经过以上四个环节的学习，已经初步掌握了任意角的三角函数的定义及三角函数的符号规律，有待进一步提高认知水平，因此我针对学生素质的差异设计了有层次的作业，其中思考题的设计思想是：综合练习巩固提高，更为下节的学习内容打下基础，同时留给学生课后自主探究，这样既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的，以有利于全体学生的发展。

　　六、简述板书设计。

　　ctα、cscα、secα的定义写在sinα、csα、tanα的左下方，突出本节重要内容的主体地位。

　　结束：以上，我仅从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学程序上说明了“教什么”和“怎么教”，阐明了“为什么这样教”。

　　希望各位领导、同行对本堂说课提出宝贵意见。

任意角的三角函数说课稿2

各位领导，各位老师：

　　我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》④（必修）第1、2、1节。

　　一、教材结构与内容简析

　　二、教学重点、难点、关键

　　教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。

　　教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

　　教学关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）。

　　三、学情分析

　　学生已经掌握的内容及学生学习能力

　　1、学生在初中时已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。

　　2、学生的运算能力较差。

　　3、部分同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。

　　4、在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。

　　四、教学目标

　　根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标：

　　1、基础知识目标：使学生正确理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；

　　2、能力训练目标：通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力。

　　3、情感目标：通过学习，渗透数形结合和类比的数学思想，培养学生良好的思维习惯。

　　下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

　　五、教学理念和方法

　　根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学教法，在课堂结构上，设计了①创设情境——揭示课题②推广认知——形成概念③巩固新知——探求规律④总结反思——提高认识⑤任务后延——自主探究五个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。接下来，我再具体谈一谈这堂课的教学过程：

　　六、教学程序及设想

　　总体来说，由旧及新，由易及难，逐步加强，逐步推进，给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识，拓展、完善定义、

　　先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义，过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义。

　　（一）创设情境——揭示课题

　　问题1：在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？

　　问题2：角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗？

　　问题3：若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

　　留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。

　　【设计意图】

　　教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

　　师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）。

　　问题4：对于确定的角，这三个比值是否与P在

　　的终边上的位置有关？为什么？

　　先让学生想象思考，作出主观判断，再引导学生观察右图，

　　联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，

　　六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。

　　得出结论（强调）：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化、所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数。

　　（二）推广认知——形成概念

　　教师指出：sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cotα、cscα、secα的定义域不要求记忆。

　　（关于值域，到后面再学习）。

　　【设计意图】定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域、指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握。

　　（三）巩固新知——探求规律

　　为了使学生达到对知识的深化理解，进而达到巩固提高的效果，

　　例1、已知角的终边过点，求的六个三角函数值

　　要求：读完题目，思考：计算什么？需要准备什么？闭目心算，对照板书，模仿书面表达格式。

　　巩固定义之后，我特地设计了一组即时训练题，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动，培养学生分析解决问题的能力。

　　例2、求的正弦、余弦和正切值。

　　分析：终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的'三角函数值（或判断其无意义）

　　取特殊点能使计算更简明。

　　【设计意图】判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求、要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的“才”字符号法则，这也是理解和记忆的关键。

　　（四）总结反思——提高认识

　　（五）任务后延——自主探究

　　七、简述板书设计。

　　cotα、cscα、secα的定义写在sinα、cosα、tanα的左下方，突出本节重要内容的主体地位。

　　结束：以上，我仅从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学程序上说明了“教什么”和“怎么教”，阐明了“为什么这样教”。

任意角的三角函数说课稿3

各位同仁，各位专家：

　　我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自苏教版高中实验教科书《数学》第四册第1.2节

　　先对教材进行分析

　　教学内容：任意角三角函数的定义、定义域，三角函数值的符号。

　　地位和作用：任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念对三角内容的整体学习至关重要。同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，通过这部分内容的学习，又可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。所以这个内容要认真探讨教材，精心设计过程。

　　教学重点：任意角三角函数的定义

　　教学难点：正确理解三角函数可以看作以实数为自变量的函数、初中用边长比值来定义转变为坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及坐标定义的合理性的理解；

　　学情分析：

　　学生已经掌握的内容，学生学习能力

　　1、初中学生已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。

　　2、我们南山区经过多年的初中课改，学生已经具备较强的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。

　　3、在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强必须在老师一定的指导下才能进行

　　针对对教材内容重难点的和学生实际情况的分析我们制定教学目标如下

　　知识目标：

　　（1）任意角三角函数的定义；三角函数的定义域；三角函数值的'符号，

　　能力目标：

　　（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；

　　（2）正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

　　（3）通过对定义域，三角函数值的符号的推导，提高学生分析探究解决问题的能力。

　　德育目标：

　　（1）学习转化的思想，

　　（2）培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

　　针对学生实际情况为达到教学目标须精心设计教学方法

　　教法学法：温故知新，逐步拓展

　　（1）在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步一步扩展内容，发展新知识，形成新的概念；

　　（2）通过例题讲解分析，逐步引出新知识，完善三角定义运用多媒体工具

　　（3）提高直观性增强趣味性。

　　教学过程分析

　　总体来说，由旧及新，由易及难，

　　逐步加强，逐步推进

　　先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义

　　过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义

　　再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义

　　给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识拓展完善定义。

　　具体教学过程安排

　　引入：复习提问：初中直角三角形中锐角的正弦余弦正切是怎样定义的？

　　由学生回答

　　SinA=对边/斜边=BC/AB

　　cosA=对边/斜边=AC/AB

　　tanA=对边/斜边=BC/AC

　　逐步拓展：在高中我们已经建立了直角坐标系，把“定义媒介”从直角三角形改为平面直角坐标系。

　　我们知道，随着角的概念的推广，研究角时多放在直角坐标系里，那么三角函数的定义能否也放到坐标系去研究呢？

　　引导学生发现B的坐标和边长的关系。进一步启发他们发现由于相似三角形的相似比导致OB上任一P点都可以代换B，把三角函数的定义发展到用终边上任一点的坐标来表示，从而锐角三角函数可以使用直角坐标系来定义，自然地，要想定义任意一个角三角函数，便考虑放在直角坐标中进行合理进行定义了

　　从而得到

　　知识点一：任意一个角的三角函数的定义

　　提醒学生思考：由于相似比相等，对于确定的角A，这三个比值的大小和P点在角的终边上的位置无关。

　　精心设计例题，引出新内容深化概念，完善定义

　　例1已知角A的终边经过P（2，—3），求角A的三个三角函数值

　　（此题由学生自己分析独立动手完成）

　　例题变式1，已知角A的大小是30度，由定义求角A的三个三角函数值

　　结合变式我们发现三个三角函数值的大小与角的大小有关，只会随角的大小而变化，符合当初函数的定义，而我们又一直称呼为三角函数，

　　提出问题：这三个新的定义确实问是函数吗？为什么？

　　从而引出函数极其定义域

　　由学生分析讨论，得出结论

　　知识点二：三个三角函数的定义域

　　同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数

　　例题变式2，已知角A的终边经过P（—2a，—3a）（a不为0），求角A的三个三角函数值

　　解答中需要对变量的正负即角所在象限进行讨论，让学生意识到三角函数值的正负与角所在象限有关，从而导出第三个知识点

　　知识点三：三角函数值的正负与角所在象限的关系

　　由学生推出结论教师总结符号记忆方法，便于学生记忆

　　例题2：已知A在第二象限且sinA=0.2求cosA，tanA

　　求cosA，tanA

　　综合练习巩固提高，更为下节的同角关系式打下基础

　　拓展，如果不限制A的象限呢，可以留作课外探讨

　　小结回顾课堂内容

　　课堂作业和课外作业以加强知识的记忆和理解

　　课堂作业P16 1，2，4

　　（学生演板，后集体讨论修订答案同桌讨论，由学生回答答案）

　　课后分层作业（有利于全体学生的发展）

　　必作P23 1（2），5（2），6（2）（4）选作P23 3，4

　　板书设计（见PPT）

任意角的三角函数说课稿4

　　1、教学目标：

　　一、借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。

　　二、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。

　　三、通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

　　四、让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。

　　2、教学重点与难点：

　　重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；三角函数值的符号。

　　难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

　　授课过程：

　　一、引入

　　在我们的现实世界中的许多运动变化都有循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性。如何用数学的方法来刻画这种变化？从这节课开始，我们要来学习刻画这种规律的数学模型之一――三角函数。

　　二、创设情境

　　三角函数是与角有关的函数，在学习任意角概念时，我们知道在直角坐标系中研究角，可以给学习带来许多方便，比如我们可以根据角终边的位置把它们进行归类，现在大家考虑：若在直角坐标系中来研究锐角，则锐角三角函数又可怎样定义呢？

　　学生情况估计：学生可能会提出两种定义的方式，一种定义为边之比，另一种定义在比值中引入了终边上的一点P的坐标。

　　问题：

　　1、锐角三角函数能否表示成第二种比值方式？

　　2、点Ｐ能否取在终边上的其它位置？为什么？

　　3、点P在哪个位置，比值会更简洁？（引出单位圆的定义）。指出sina＝mP的函数依旧表示一个比值，不过其分母为1而已。

　　练习：计算的各三角函数值。

　　三、任意角的三角函数的定义

　　角的概念已经推广道了任意角，那么三角函数的定义在任意角的范围里改怎么定义呢？

　　尝试：根据锐角三角函数的定义，你能尝试着给出任意角三角函数的定义吗？

　　评价学生给出的定义。给出任意角三角函数的定义。

　　四、解析任意角三角函数的定义

　　三角函数首先是函数。你能从函数观点解析三角函数吗？（定义域）

　　对于确定的角a，上面三个函数值都是唯一确定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。

　　五、三角函数的应用。

　　1、已知角，求a的三角函数值。

　　2、已知角a终边上的一点P（－3，－4），求各三角函数值。

　　以上两道书上的例题，让学生自习看书，学生看书的同时，老师提出问题：

　　1、已知角如何求三角函数值？

　　2、利用角a的终边上任意一点的'坐标也可以定义三角函数，你能给出这种定义吗？（这种定义与课本中给出的定义各有什么特点？）

　　3、变式：已知角a终边上点P（－3b，－4b），（b0），求角a的各三角函数值。

　　4、探究：三角函数的值在各象限的符号。

　　六、小结及作业

　　教案设计说明：

　　新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，这节《任意角三角函数》的教案，主要围绕这一点来设计。

　　首先，角的概念推广了，那么锐角三角函数的定义是否也该推广到任意角的三角函数的定义呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

　　其次，到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢？让学生提出自己的想法，同时让学生去辨证这个想法是否是科学的？因为一个概念是严谨的，科学的，不能随心所欲地编造，必须去论证它的合理性，至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突。在这个立－破的过程中，让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成，在形成的过程中可以从哪些角度加以科学的辩思。这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解。

　　再次，让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中，是如何将直角三角形这个"形"的问题，转换到直角坐标系下点的坐标这个"数"的过程的。培养数形结合的思想。

任意角的三角函数说课稿5

　　一、教学目标

　　1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.

　　2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程.领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验.

　　3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.

　　4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度.

　　二、重点、难点、关键

　　重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法.

　　难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数.

　　关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）.

　　三、教学理念和方法

　　教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.

　　根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用"启发探索、讲练结合"的方法组织教学.

　　四、教学过程

　　[执教线索：

　　回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）--问题情境：能推广到任意角吗？--它山之石：建立直角坐标系（为何？）--优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数--探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）--自主定义：任意角三角函数定义--登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）--例题与练习--回顾小结--布置作业]

　　（一）复习引入、回想再认

　　开门见山，面对全体学生提问：

　　在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？

　　探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下：

　　（情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？

　　让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：

　　传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域.

　　现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称映射?：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f（x），x∈A，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域.

　　设计意图：

　　函数和三角函数是一般和特殊的关系，是共性和个性的关系，学生已经学习了函数的概念，因此对三角函数的学习就是一个从一般到特殊的演绎的过程,也是以具体函数丰富函数概念的过程.教学经验表明：学生对函数两种定义的记忆是有一定困难的，容易遗忘，此处让学生对函数概念进行回想再认，目的在于明确函数概念的本质，为演绎学习任意角三角函数概念作好知识和认知准备.

　　（情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数.请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？

　　学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：

　　设计意图：

　　学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）.温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少.

　　（二）引伸铺垫、创设情景

　　（情景3）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！

　　留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.

　　能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答.用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于4.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.

　　设计意图：

　　从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的"再创造"征程.

　　教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

　　师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：

　　把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作Pm⊥x轴于m，构造一个RtΔomP，则∠moP=α（锐角），设P（x,y）（x＞0、y＞0），α的临边om=x、对边mP=y，斜边长|oP∣=r.

　　根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：

　　设计意图：

　　此处做法简单，思想重要.为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形.由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的`三角函数.初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义.这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识,能够形成迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础（譬如从平面向量到空间向量的扩展，从实数到复数的扩展等）.

　　（情景4）各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？

　　追问：锐角α大小发生变化时，比值会改变吗？

　　先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：保持r不变，让P绕原点o旋转即α在锐角范围内变化，六个比值随之变化的直观形象。结论是：比值随α的变化而变化.

　　引导学生观察图3，联系相似三角形知识，

　　探索发现：

　　对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是

　　确定的，不会随P在终边上的移动而变化.

　　得出结论(强调)：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.

　　设计意图：

　　初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键.这样做能够使学生有效地增强函数观念.

　　（三）分析归纳、自主定义

　　（情境5）能将锐角的比值情形推广到任意角α吗?

　　水到渠成，师生共同进行探索和推广：

　　对于一个任意角α，它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：

　　终边分别在四个象限的情形：终边分别在四个半轴上的情形：

　　；

　　（指出：不画出角的方向，表明角具有任意性）

　　怎样刻画任意角的三角函数呢？研究它的六个比值：

　　（板书）设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点P（x，y），P与原点o之间的距离记作r（r=＞0），列出六个比值：

　　α=kππ/2时，x=0，比值y/x、r/x无意义；

　　α=kπ时，y=0，比值x/y、r/y无意义.

　　追问：α大小发生变化时，比值会改变吗？

　　先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：使r保持不变，P绕原点o逆时针、顺时针旋转即角α变化，六个比值随之改变的直观形象。结论是：各比值随α的变化而变化.

　　再引导学生利用相似三角形知识，探索发现：对于任意角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.

　　综上得到（强调）：当角α变化时，六个比值随之变化；对于确定的角α，六个比值（如果存在的话）都不会随P在角α终边上的改变而改变，六个比值是确定的(对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析).

　　因此，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.

　　根据历史上的规定，对比值进行命名，指出英文记法和读法，记作（承前作复合板书）：

　　=sinα（正弦）=cosα（余弦）=tanα（正切）

　　=cscα（余割）=sec（正弦）=cotα（余切）

　　教师强调：sinα表示sin与α的乘积吗？不是，sinα是函数记号，是一个整体,相当于函数记号f（x）.其它几个三角函数也如此

　　投影显示图六，指导学生分析其对应关系，进一步体会其函数内涵：

　　（图六）

　　指导学生识记六个比值及函数名称.

　　教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函数有非常丰富的知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们的定义就够了（遵循大纲要求）.

　　引导学生进一步分析理解：

　　已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，对于每一个确定的实数，把它看成一个弧度数，就对应着唯一的一个角，从而分别对应着六个唯一的三角函数值.因此，（板书）三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，这将为以后的应用带来很多方便.

　　设计意图：

　　把角的终边分别在四个象限、四条半轴上的情形全作出来，有利于对任意性的全面把握.明确比值存在与否的条件，为确定函数定义域作准备.动画演示比值与角之间的依赖性与确定性关系，深化理解三角函数内涵.引导学生在理解的基础上自主地对三角函数作出明确定义，是本节课的中心任务.由于学生刚学弧度制，对弧度制的理解有待于在以后的学习应用中逐步感悟，因此部分学生对"三角函数可以看成是以实数为自变量的函数"的理解有半信半疑之感，有待通过后续的应用加深理解.

　　（四）探索定义域

　　（情景6）（1）函数概念的三要素是什么？

　　函数三要素：对应法则、定义域、值域.

　　正弦函数sinα的对应法则是什么？

　　正弦函数sinα的对应法则，实质上就是sinα的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值y/r与之对应，即α→y/r=sinα.

　　(2)布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出六个三角函数的定义域，填写下表：

　　三角函数

　　sinα

　　cosα

　　tanα

　　cotα

　　cscα

　　secα

　　定义域

　　引导学生自主探索：

　　如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围.

　　关于sinα=y/r、cosα=x/r，对于任意角α（弧度数），r＞0，y/r、x/r恒有意义，定义域都是实数集R.

　　对于tanα=y/x，α=kππ/2时x=0，y/x无意义，tanα的定义域是：{α|α∈R，且α≠kππ/2}..........

　　教师指出:sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cotα、cscα、secα的定义域不要求记忆.

　　（关于值域，到后面再学习）.

　　设计意图：

　　定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域.指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握.

　　（五）符号判断、形象识记

　　（情景7）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！

　　引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：

　　（同好得正、异号得负）

　　sinα=y/r：上正下负横为0cosα=x/r：左负右正纵为0tanα=y/x：交叉正负

　　设计意图：

　　判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求.要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键.

　　（六）练习巩固、理解记忆

　　1、自学例1：已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的六个三角函数值.

　　要求：读完题目，思考：计算什么?需要准备什么?闭目心算，对照解答，模仿书面表达格式，巩固定义.

　　课堂练习：

　　p19题1：已知角α的终边经过点P（-3，-1），求α的六个三角函数值.

　　要求心算，并提问中下学生检验，--------

　　点评：角α终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道α终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）.

　　补充例题：已知角α的终边经过点P（x，-3），cosα=4/5，求α的其它五个三角函数值.

　　师生探索：已知y=-3，要求其它五个三角函数值，须知r=？，x=？.根据定义得=（方程思想），x＞0，解得x=4，从而--------.解答略.

　　2、自学例2：求下列各角的六个三角函数值：(1)0；(2)π/2；(3)3π/2.

　　提问，据反馈信息作点评、修正.

　　取特殊点能使计算更简明。课堂练习：p19题2.（改编）填表：

　　角α（角度）

　　0°

　　90°

　　180°

　　270°

　　360°

　　角α（弧度）

　　sinα

　　cosα

　　tanα

　　处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义.

　　强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2、π、3π/2等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值.

　　设计意图：

　　及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把"培养学生分析解决问题的能力"贯穿在每一节课的课堂教学始终.

　　（七）回顾小结、建构网络

　　要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：

　　1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，---，在终边上任意取定一点P，---）

　　2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？（根据定义，------）

　　3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？（根据定义，想象坐标位置，-----）

　　设计意图：

　　遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策.此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力.

　　（八）布置课外作业

　　1．书面作业：习题4.3第3、4、5题.

　　2．认真阅读p22"阅读材料：三角函数与欧拉"，了解欧拉的生平和贡献，特别学习他对科学的挚着精神和坚忍不拔的顽强毅力！有兴趣的同学可以上网查阅欧拉的相关情况.

　　教学设计说明

　　一、对本节教材的理解

　　三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.

　　星星之火，可以燎原.

　　直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、辅助角公式、图象和性质，本章教材就是这些内容的具体安排.定义直接用于解析几何（如直线斜率公式、极坐标、部分曲线的参数方程等），定义还是直接解决某些问题的工具，三角函数知识是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础.

　　三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.

　　二、教学法加工

　　数学教材通常用抽象概括的形式化的数学书面语言阐述其知识和方法，教师只有通过教学法加工，始终贯彻"以学生的发展为本"的科学教育观，"将数学的学术形态转化为教育形态"（张奠宙语），引导学生积极主动地进行思考活动，直接参与体验数学知识产生发展的背景、过程，返璞归真，揭示本质，体会其中的思想和方法，学生只有这样才能真正理解掌握数学知识和方法，有效地发展智力、培养能力.

　　在本节教材中，三角函数定义是重点，三角函数线是难点，为了较好地突出重点和突破难点，分散重点和难点，同时兼顾例题、课堂练习的协调匹配，将不按教材顺序来进行教学，第一课时安排三角函数的定义（突出重点）、定义域、符号判断、例题1、2及p19课堂练习1、2、3，第二课时安排三角函数线、p15练习（突破难点）、诱导公式一及课本例题3、4和其它练习.本课例属第一课时.

　　教学经验表明，三角函数定义"简单易记"，学生很容易轻视它，不少学生机械记忆、一知半解.本课例坚持"教师主导、学生主体"的原则，采用"启发探索、讲练结合"的常规教学方法，在学生的最近发展区围绕学生的学习目标设计了一系列符合学生认知规律的程序，通过多媒体辅助教学动画演示比值与角之间的依赖关系，拓展思维活动时空，力求使学生全员主动参与，积极思考，体会定义产生、发展的过程，通过思维过程来理解知识、培养能力.

　　将六个比值放在一起来研究，同时给出六个三角函数的定义，能够增强对比感和整体感，至于大纲对两组函数掌握与了解的不同要求，在下一步的教学中注意区分就行了.

　　教学中关于符号sinα、cosα、tanα的出场安排，教材首先对比值取名并给出英文记法，再研究它们与α的函数关系；另外可以先研究六个比值与α之间的函数关系，然后再对六个比值取名给出记法.后者更能突出函数内涵，揭示三角函数本质.本课例采用后者组织教学.

　　三、教学过程分析（见穿插在教案中的设计意图）.

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